1.7. Прямые суммы

Определение 9. Пусть - линейное пространство, - принадлежащие ему линейные многообразия. Если каждый элемент однозначно представим в виде

, , (1.9)

то говорят, что пространство есть прямая сумма линейных многообразий , а выражение (1.9) называется разложением элемента по элементам из . При этом пишут

. (1.10)

Предложение 6. Если , то .

Доказательство. В самом деле, если бы и содержали другой общий элемент , то для элемента , имеющего представление

, , ,

было бы также справедливо представление

, , ,

отличное от первого. А это противоречит условию. Предложение доказано.

Справедливо обратное утверждение.

Предложение 7. Если любой элемент может быть представлен в виде

, , , (1.11)

и , то .

Доказательство. Необходимо доказать однозначность представления (1.11).

Но если

, , ,

то

, , .

В силу условия предложения отсюда следует, что , т.е. , . Предложение доказано.

Приведем еще несколько определений, которые потребуются в дальнейшем.

Определение 10. Пусть и - множества пространства . Через обозначается множество всех элементов вида , где и . Точно также, если множество чисел, то через обозначается множество всех элементов вида , где и .

Заметим, что, вообще говоря, , а только .

Определение 11. Множество называется выпуклым, если вместе с точками и оно содержит весь отрезок , соединяющий эти точки, т.е. множество точек при .

1.8. Лемма Цорна. Существование алгебраического базиса

Определение 12. Множество называется упорядоченным, если для некоторых пар элементов и определено отношение порядка ( меньше или равно ), причем для любых из выполнены условия:

1) для любого (рефлексивность);

2) если и , то (транзитивность);

3) если и то (антисимметричность).

Определение 13. Упорядоченное множество называется совершенно упорядоченным, если для любых элементов и из либо , либо , т.е. все элементы сравнимы между собой.

Определение 14. Подмножество называется ограниченным сверху, если существует такой , что для любого . При этом называется верхней границей для .

Определение 15. Если , то элемент называется наибольшим в , если для любого .

Определение 16. Если , то элемент называется максимальным в , если из для , следует что .

Отметим, что любой наибольший элемент будет и максимальным, но, вообще говоря, не наоборот.

Лемма Цорна. Если каждое совершенно упорядоченное подмножество упорядоченного множества ограничено сверху, то в существует максимальный элемент.

Далее рассмотрим одно из применений Леммы Цорна в линейных пространствах.

С этой целью введем ряд определений.

Определение 17. Множество в линейном пространстве называется линейно независимым, если любой конечный набор элементов из линейно независим.

Определение 18. Множество называется алгебраическим базисом пространства , если линейно независимо и для любого существует конечный набор элементов из , такой, что .

Теорема 3. В любом линейном пространстве существует алгебраический базис.

Доказательство. Обозначим через множество всевозможных линейно независимых подмножеств из . На зададим отношение порядка по включению, а именно: если и два линейно независимых множества, то будем писать , если и при . Таким образом, множество становится частично упорядоченным. Пусть - совершенно упорядоченное подмножество , где пробегает некоторое множество . Покажем, что оно ограничено сверху.

Положим . Если , то при некотором . Далее докажем, что в силу совершенной упорядоченности множества все элементы , такие, что совпадают между собой. В самом деле, если и , то либо , либо . В первом случае и для всех . Аналогичное соотношение имеет место во втором случае.

Теперь определим элемент с помощью равенства , где - любой из индексов, для которых . Тогда множество линейно независимо, в силу совершенной упорядоченности , и является верхней гранью для .

Значит, выполнены условия леммы Цорна и в существует максимальное линейно независимое множество . Нам остается доказать, что множество и есть алгебраический базис. Оно линейно независимо. И если линейная оболочка не совпадает со всем пространством , то найдется ненулевой элемент . Присоединяя элемент к множеству , мы получим такое линейно независимое множество , что . А это противоречит максимальности . Теорема полностью доказана.

2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1. Определение нормированного пространства, связь

с метрическими пространствами. Непрерывность

операций сложения и умножения на число

в нормированных пространствах

Определение 1. Говорят, что в линейном пространстве задана норма, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число, обозначаемое как , причем должны выполняться три аксиомы:

1. ( невырожденность нормы );

2. , каково бы ни было число (однородность нормы);

3. (неравенство треугольника).

Предложение 1. Имеет место неравенство

. (2.1)

Доказательство. По неравенству треугольника имеем

,

откуда следует неравенство

.

Меняя местами в этом неравенстве и , получим

.

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (2.1). Предложение доказано.

Определение 2. В нормированном пространстве определим расстояние, полагая для любых

, (2.2)

т.е. расстояние между двумя элементами равно норме разности.

Предложение 2. Расстояние, определенное формулой (2.2), удовлетворяет аксиомам метрического пространства.

Доказательство. Если , то и по аксиоме 1. для нормы ; если же , то .

Далее

.

Наконец, докажем неравенство треугольника. Используя аксиому 3. для нормы, получим

.

Предложение доказано.

Таким образом, нормированные пространства являются частным случаем метрических пространств.

В следующем предложении выражены дополнительные свойства, которыми обладает введенная метрика.

Предложение 3. Метрика, определяемая формулой (2.2), удовлетворяет условиям:

1. (инвариантность относительно сдвига); (2.3)

2. (положительная однородность). (2.4)

Доказательство. Имеем

,

.

Предложение доказано. Далее справедливо обратное утверждение.

Предложение 4. Любая метрика в линейном пространстве, обладающая свойствами (2.3) и (2.4) определяет в некоторую норму, а именно .

Доказательство. Первая аксиома нормы, очевидно, выполнена. Учитывая положительную однородность метрики, получим

.

А для доказательства третьей аксиомы воспользуемся неравенством треугольника для метрики и инвариантностью метрики относительно сдвига. Имеем

.

Предложение доказано.

Определение 3. Говорят, что последовательность сходится к по норме и пишут , если

, при . (2.5)

Сходимость по норме, очевидно, совпадает со сходимостью по расстоянию, а именно

.

Имеет место предложение.

Предложение 5. Если , то , иначе говоря, норма является непрерывной функцией.

Доказательство. Из неравенства (2.1) следует

.

Отсюда непосредственно следует доказательство предложения.

Еще отметим, что числовая последовательность ограничена, как сходящаяся.

Предложение 6. Операции сложения и умножения на число непрерывны в нормированном пространстве:

1. если , , то ;

2. если , , то , где - числа.

Доказательство. Имеем

.

И первая часть предложения доказана. Для доказательства второго утверждения

также используем то, что сходящая числовая последовательность ограничена. С учетом этого имеем

.

Предложение доказано.