1.4. Линейное многообразие. Линейные оболочки

Определение 7. Непустое подмножество линейного пространства называется линейным многообразием, если из , следует, что .

Покажем, что линейное многообразие само является линейным пространством. Аксиомы 1,2, а также 5-8 выполняются, поскольку они выполняются для всех элементов пространства . Остается проверить аксиомы 3,4.

Возьмем ; поскольку , то нулевой элемент принадлежит .

Теперь возьмем ; поскольку есть элемент, противоположный элементу , то подмножество вместе с каждым элементом содержит и противоположный элемент. Следовательно, выполнены все аксиомы линейного пространства. Приведем примеры линейных многообразий.

Пример 1. Нулевой элемент пространства образует наименьшее, возможное линейное многообразие пространства .

Пример 2. Все пространство - наибольшее, возможное линейное многообразие пространства .

Пример 3. Пусть - линейное пространство и - его ненулевой элемент. Элементы вида , где пробегает все числа, образует линейное многообразие.

Пример 4. Множество всех многочленов образует линейное многообразие в линейном пространстве непрерывных функций.

Пример 5. Пространство является линейным многообразием в линейном пространстве ограниченных последовательностей.

Определение 8. Пусть дано некоторое подмножество линейного пространства . Линейной оболочкой называется совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа элементов, принадлежащих . Линейную оболочку множества будем обозначать через .

Покажем, что линейная оболочка является линейным многообразием. В самом деле, если и принадлежат , то

, , .

Тогда

, ,

т.е. сумма двух элементов и произведение элемента на число являются линейными комбинациями элементов из множества . Следовательно, -линейное многообразие.

С другой стороны, всякое линейное многообразие, содержащее элементы множества , содержит и все линейные комбинации элементов из .

Следовательно, линейная оболочка множества есть наименьшее линейное многообразие, содержащее .

1.5. Изоморфизм линейных пространств

Определение 9. Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, причем из того, что и , следует, что и .

Иначе говоря, это взаимно однозначное соответствие сохраняет алгебраические операции. Далее покажем, что всякое - мерное линейное действительное пространство изоморфно арифметическому пространству . Для этого обозначим через базис пространства , который существует в силу теоремы 1, и разложим произвольный элемент по базису: .

Соотнося элементу вектор с компонентами , получим взаимно однозначное соответствие между и . Построенное соответствие является линейным изоморфизмом, поскольку, если и , то .

1.6. Фактор – пространства

Пусть - линейное пространство и - некоторое линейное многообразие. Два элемента и из назовем эквивалентными, если их разность принадлежит . Это отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т.е. определяет разбиение всех на классы. Совокупность всех таких классов называется фактор - пространством по и обозначается . Если произвольный элемент из класса , то всякий другой элемент из представим в виде , где .

В множестве всех классов можно ввести алгебраические операции. Пусть и два класса из . Выберем в каждом классе по представителю, например и соответственно, и назовем суммой классов и тот класс , который содержит элемент , а произведением класса на число тот класс, который содержит элемент .

Это определение, как легко проверить, не зависит от выбора элементов и - представителей классов и . Введенные операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства. Поэтому множество становится линейным пространством, которое называется фактор – пространством, причем роль нулевого элемента играет линейное многообразие .