3.4. Фактор - пространства нормированных пространств
Пусть
- нормированное пространство,
- замкнутое подпространство. Рассмотрим
фактор-пространство
.
В силу замкнутости
класс
-
замкнутое множество в
.
Если для
положить
,
(3.7)
то превратится в нормированное пространство. Проверим справедливость аксиом нормированного пространства.
Если
,
то в качестве
можно взять нулевой элемент пространства
и поэтому
.
Обратно, если
,
то согласно (3.7) и по свойству нижней
грани существует последовательность
,
такая что
.
И поскольку класс
-
замкнут, то содержит предельную точку:
и тем самым
является нулевым элементом
фактор-пространства
.
Проверим однородность нормы, рассматривая случай . Имеем
.
Когда пробегает класс , элемент пробегает класс , откуда следует, что
.
Теперь докажем неравенство треугольника.
Для произвольных
,
имеем
,
поэтому
.
Переходя в правой части к точным нижним граням, получим неравенство треугольника.
Далее докажем, что если - полное пространство, то и фактор-пространство - полно. Вначале заметим, что согласно (3.7) для каждого найдется такой элемент , что
.
(3.8)
А теперь возьмем фундаментальную
последовательность
в пространстве
.
Переходя, если нужно к подпоследовательности,
можно считать, что ряд
сходится. Способ построения указанной
подпоследовательности приведен в
теореме 2. К последовательности
добавим еще
- нулевой элемент пространства
.
Выберем
(
)
так, что
.
Тогда ряд
сходится и по теореме 2 в силу полноты
пространства
сходится
также ряд
.
Положим
и обозначим через
,
содержащий
.
Поскольку при каждом
справедливо включение
,
то
,
при
,
т.е.
.
Таким образом доказана теорема.
Теорема 5. Фактор – пространство банахова пространства по любому его подпространству есть банахово пространство.
3.5. Банахово пространство с базисом
Определение 8. Пусть
- бесконечномерное банахово пространство.
Последовательность элементов
из
называется
базисом Шаудера этого пространства,
если любой элемент
можно представить однозначно в виде
.
Однозначность этого представления равносильна условию, что
тогда и только тогда, когда
для всех
.
Рассмотрим примеры банаховых пространств с базисом Шаудера.
Пример 1. Рассмотрим пространство
и элементы
,
,….
Покажем, что для любого
из пространства
имеет место однозначное представление
.
В самом деле,
и потому
,
как остаток сходящегося ряда. Отсюда
.
И если
,
то
.
Отсюда следует, что
и взаимная однозначность доказана.
Пример 2. Рассмотрим пространство
непрерывных функций
.
Базис Шаудера состоит из системы функций
,
,
,
и
,
(3.9)
где
(3.10)
Разложение непрерывной функции в ряд по введенному базису имеет вид
,
(3.11)
где
График частичной суммы
есть ломаная линия с
вершинами, лежащими на кривой
в точках с равностоящим абсциссами.
Можно показать, что функции (3.8) образуют
базис Шаудера в пространстве
.