3.2. Ряды в нормированных и банаховых пространствах

Из элементов нормированного пространства составим формальный ряд

(3.3)

и назовем частичной суммой ряда (3.3) сумму первых элементов, т.е. выражение

.

Определение 3. Ряд (3.3) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм. При этом элемент

называется суммой ряда и обозначается

.

Определение 4. Если сходится числовой ряд, составленный из норм

, (3.4)

то ряд (3.3) называется абсолютно сходящимся.

В курсе математического анализа для числовых рядов доказывается, что всякий абсолютно сходящийся числовой ряд сходится.

Как следует из следующей теоремы, это свойство эквивалентно полноте.

Теорема 2. Нормированное пространство является банаховым тогда и только тогда, когда в нем каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство необходимости. Пусть - банахово пространство и числовой ряд (3.4) сходится. Докажем, что частичные суммы образуют фундаментальную последовательность. При имеем

, когда .

Таким образом, последовательность частичных сумм фундаментальна и поэтому сходится в силу полноты пространства , т.е. сходится ряд (3.3). Далее, переходя в неравенстве

к пределу, получим

, (3.5)

которое является обобщением неравенства треугольника для норм.

Доказательство достаточности. Пусть в нормированном пространстве любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Возьмем фундаментальную последовательность . В силу фундаментальности, найдется такой номер , что

, .

После того, как выбраны , найдем так, чтобы

, .

Продолжая этот процесс, построим подпоследовательность такую, что

, . (3.6)

А теперь составим ряд

.

Этот ряд сходится абсолютно, согласно оценке (3.6), тогда он сходится по условию теоремы. С другой стороны, частичная сумма последнего ряда

равна элементу . Таким образом, сходится подпоследовательность , а вместе с ней и исходная фундаментальная последовательность . Теорема полностью доказана.

3.3. Принцип вложенных шаров. Множества первой и второй категории

В банаховых пространствах справедлив аналог известного принципа вложенных отрезков.

Теорема 3. Для того чтобы нормированное пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство этой теоремы имеется в [4], поэтому здесь не приводится.

Далее приведем важные определения и теорему Бэра.

Определение 5. Множество называется нигде не плотным в нормированном пространстве , если любой открытый шар этого пространства содержит другой открытый шар, целиком свободный от точек множества .

Можно показать, что определение 5 эквивалентно следующему определению.

Определение 5 (эквивалентное определение). Множество называется нигде не плотным в нормированном пространстве , если его замыкание не содержит ни одного открытого шара.

Определение 6. Множество называется множеством первой категории, если его можно представить в виде объединения не более чем счетного числа нигде не плотных в множеств.

Определение 7. Множество, на являющееся множеством первой категории, называется множеством второй категории.

Теорема 4 (Бэр). Всякое банахово пространство является множеством второй категории.

Доказательство этой теоремы также имеется в [12].