2.8. Компактность и конечномерность

В пособии [12] подробно изложены компактные пространства и множества в метрических пространствах. Здесь рассмотрим один аспект, характерный именно для линейных нормированных пространств. В начале приведем нужные определения.

Определение 1. Линейное нормированное пространство называется компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует сходящаяся подпоследовательность.

Определение 2. Линейное нормированное пространство называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует фундаментальная подпоследовательность.

Определение 3. Множество в линейном нормированном пространство называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого множества существует фундаментальная подпоследовательность.

Определение 3. Неограниченное множество элементов нормированного пространства называется локально относительно компактным, если пересечение с любым замкнутым шаром в относительно компактно.

Теорема 1. (Ф.Рисс). Для того чтобы линейное многообразие нормированного пространства было локально относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы было конечномерным.

Доказательство необходимости. Пусть локально компактно. Рассмотрим точку и произвольный замкнутый шар с центром в этой точке . Пересечение относительно компактно в .

Предположим, что утверждение теоремы неверно, т.е. бесконечномерно.

Возьмем любой элемент с и положим . Обозначим через линейную оболочку элемента , т.е. множество элементов вида .

По лемме Рисса существует с такой, что и, в частности, . Положим . Тогда и, кроме того,

.

Продолжим эти построения. Если и, соответственно , , уже построены, то через обозначим линейную оболочку элементов .

Линейное многообразие замкнуто, поскольку конечномерно, т.е. является подпространством. Так как бесконечномерно, то . Снова пользуясь леммой Рисса, найдем элемент с такой, что . В частности, при любом . Положим . Тогда и выполнено неравенство

, . (2.15)

Продолжая этот процесс, получим последовательность , которая не содержит фундаментальной последовательности. А это противоречит относительной компактности . Необходимость доказана.

Доказательство достаточности. Пусть конечномерно. Возьмем в произвольный замкнутый шар . Рассмотрим в ограниченном множестве произвольную последовательность . Разложим элементы этой последовательности по базису , . На основании предложения 15 из 2-ой главы заключаем, что при каждом числовая последовательность ограничена. Поэтому по известной теореме Больцано - Вейерштрасса существует последовательность натуральных чисел такая, что

, .

Тогда в силу предложения16 из 2-ой главы

.

Это и означает, что относительно компактно. Теорема полностью доказана.

Следствие 1. Для того, чтобы нормированное пространство было локально компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было конечномерным.

Доказательство получается из теоремы, если взять .

Следствие 2. В бесконечномерном нормированном пространстве любое относительно компактное множество нигде не плотно.

Доказательство. Пусть - относительно компактное множество в бесконечномерном пространстве . Допустим, что утверждение следствия неверно. Тогда найдется шар , который содержится в замыкании множества : . Но тогда . Поскольку - относительно компактно, то относительно компактными будут также множества и . Из относительной компактности по следствию 1 получаем, что - конечномерно. Полученное противоречие и доказывает следствие.