Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Функциональный анализ.Часть 2.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.81 Mб
Скачать

64

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

________________________________________________________________

Функциональный анализ

Часть 2.

Нормированные пространства. Теория и задачи с решениями.

Учебно-методическое пособие

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД 2008

УДК 517.5 Печатается по решению

РИС НовГУ

Рецензент

Кандидат физико-математических наук, доцент О.Н. Барсов

Функциональный анализ. Часть 2. Нормированные пространства. Теория и задачи с решениями.: учеб. - метод. пособие / Сост.: С.И. Эминов; НовГУ им. Ярослава Мудрого. - Великий Новгород, 2007. – 64 с.

Излагаются основы нормированных пространств, а также приводятся задачи с решениями.

Предназначено для студентов и аспирантов математических, физических и инженерных специальностей, а также для научных работников.

УДК 517.5

© Новгородский государственный

университет, 2008

© С.И. Эминов,

составление, 2008

Посвящается моим одноклассникам,

окончившим Тбилисскую физико-математическую

школу-интернат имени Комарова в 1976 г., учащимся класса,

ныне живущим в Австралии, Армении, Греции, Грузии, Израиле,

Канаде, Панаме, России, США, Украине и Швейцарии.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………...........................5

1.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА…………………...…………………..............................6

1.1. Аксиомы линейного пространства и простейшие следствия……...………………….6

1.2. Примеры линейных пространств………………………………………………………..8

1.3. Размерность. Базис конечномерного пространства…………………………………....9

1.4. Линейное многообразие. Линейные оболочки………………….…………………….11

1.5. Изоморфизм линейных пространств……………………………………………….….13

1.6. Фактор - пространства……………………………………………………………….....13

1.7. Прямые суммы………………………………………………………………………….14

.Лемма Цорна. Существование алгебраического базиса…………………………….15

2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА……………………………………………....17

2.1.Определение нормированного пространства,

связь с метрическими пространствами. Непрерывность операций

сложения и умножения на число в нормированных пространствах…………………17

2.2. Примеры линейных нормированных пространств…………………………………...20

2.3. Открытые и замкнутые множества.

Точки прикосновения и предельные точки…………………………………………...23

2.4. Эквивалентные нормы……………………………………………….………………....25

2.5. Конечномерные нормированные пространства………………………………………27

2.6. Расстояние от точки до подпространства.

Приближение элементами подпространства………………………………………….30

2.7. Лемма Рисса. Об одном применении леммы Рисса…………………………………. 32

2.8. Компактность и конечномерность…………………………………………………….34

3. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА………………………………………………………..36

3.1. Пополнение нормированного пространства………………….. ……………………..36

3.2. Ряды в нормированных и банаховых пространствах…..…………………………….40

3.3. Принцип вложенных шаров. Множества первой и второй категории……………...42

3.4. Фактор - пространства нормированных пространств………...……………………...43

3.5. Банахово пространство с базисом……………………………………...……………...44

4. ЗАДАЧИ……….…………………………………………………………………………..46

5. РЕШЕНИЯ……………………………………….………………………………………..50

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………….63