ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО
________________________________________________________________
Функциональный анализ
Часть 2.
Нормированные пространства. Теория и задачи с решениями.
Учебно-методическое пособие
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД 2008
УДК 517.5 Печатается по решению
РИС НовГУ
Рецензент
Кандидат физико-математических наук, доцент О.Н. Барсов
Функциональный анализ. Часть 2. Нормированные пространства. Теория и задачи с решениями.: учеб. - метод. пособие / Сост.: С.И. Эминов; НовГУ им. Ярослава Мудрого. - Великий Новгород, 2007. – 64 с.
Излагаются основы нормированных пространств, а также приводятся задачи с решениями.
Предназначено для студентов и аспирантов математических, физических и инженерных специальностей, а также для научных работников.
УДК 517.5
© Новгородский государственный
университет, 2008
© С.И. Эминов,
составление, 2008
Посвящается моим одноклассникам,
окончившим Тбилисскую физико-математическую
школу-интернат имени Комарова в 1976 г.,
учащимся
класса,
ныне живущим в Австралии, Армении, Греции, Грузии, Израиле,
Канаде, Панаме, России, США, Украине и Швейцарии.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………...........................5
1.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА…………………...…………………..............................6
1.1. Аксиомы линейного пространства и простейшие следствия……...………………….6
1.2. Примеры линейных пространств………………………………………………………..8
1.3. Размерность. Базис конечномерного пространства…………………………………....9
1.4. Линейное многообразие. Линейные оболочки………………….…………………….11
1.5. Изоморфизм линейных пространств……………………………………………….….13
1.6. Фактор - пространства……………………………………………………………….....13
1.7. Прямые суммы………………………………………………………………………….14
.Лемма
Цорна. Существование алгебраического
базиса…………………………….15
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА……………………………………………....17
2.1.Определение нормированного пространства,
связь с метрическими пространствами. Непрерывность операций
сложения и умножения на число в нормированных пространствах…………………17
2.2. Примеры линейных нормированных пространств…………………………………...20
2.3. Открытые и замкнутые множества.
Точки прикосновения и предельные точки…………………………………………...23
2.4. Эквивалентные нормы……………………………………………….………………....25
2.5. Конечномерные нормированные пространства………………………………………27
2.6. Расстояние от точки до подпространства.
Приближение элементами подпространства………………………………………….30
2.7. Лемма Рисса. Об одном применении леммы Рисса…………………………………. 32
2.8. Компактность и конечномерность…………………………………………………….34
3. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА………………………………………………………..36
3.1. Пополнение нормированного пространства………………….. ……………………..36
3.2. Ряды в нормированных и банаховых пространствах…..…………………………….40
3.3. Принцип вложенных шаров. Множества первой и второй категории……………...42
3.4. Фактор - пространства нормированных пространств………...……………………...43
3.5. Банахово пространство с базисом……………………………………...……………...44
4. ЗАДАЧИ……….…………………………………………………………………………..46
5. РЕШЕНИЯ……………………………………….………………………………………..50
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………….63