2.4. Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

Полученное выше уравнение Бернулли при определённых услови­ях можно распространить на поток реальной жидкости. Рассмотрим так называемое плавно изменяющееся движение жидкости, у которо­го наблюдается параллельно-струйное движение и давление по се­чению потока распределяется по гидростатическому закону ( =const).

Как известно, полная удельная энергия элементарной струйки

.

(2.27)

Умножим левую и правую части уравнения (2.27) на весовой рас­ход струйки gvdF, тогда полная энергия, которую переносит элементарная струйка через сечение dF в единицу времени будет

.

(2.28)

Если проверить размерности, то убедимся, что в левой и правой частях уравнения (2.28) будет размерность мощности. В силу того, что поток состоит из бесконечного множества элементарных струек, мощность потока в любом сечении будет

.

(2.29)

Разобьём интеграл в правой части (2.29) на два

.

(2.30)

Так как давление по сечению изменяется по гидростатическому закону, то

.

(2.31)

Рассмотрим второй интеграл и представим его в следующем виде

.

(2.32)

Интеграл (2.32) не берётся, так как не известен закон рас­пределения скоростей по сечению потока. Этот интеграл представ­ляет собой действительную кинетическую энергию, переносимую потоком через данное поперечное сечение в единицу времени (обоз­начим её К_д).

Предположим, что скорости в каждой точке поперечного сече­ния потока одинаковы и равны средней скорости . Тогда кинетическая энергия (К_у), подсчитанная по средней скорости будет

.

(2.33)

Обозначим

.

(2.34)

Тогда

.

(2.35)

Коэффициент носит название: коэффициент неравномер­ности распределения скоростей по сечению или коэффициент ки­нетической энергии. Он представляет собой отношение действи­тельной кинетической энергии весового секундного расхода по­тока, к его кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Величина коэффициента  определяется опытным путём. Для турбулентного режима =1,1, а для ламинарного =2.

Подставляя значения интегралов (2.31) и (2.35) в (2.30), получим:

.

(2.36)

Разделим левую и правую части (2.36) на весовой расход потока gQ и получим

,

(2.37)

где Н – полная удельная энергия жидкости, протекающей через рассматриваемое живое сечение потока в единицу времени, или полный напор в данном сечении.

Полученное выражение справедливо для любого сечения потока и, если составить баланс энергий для двух сечений потока, то получим

Н1=Н2+hw,

(2.38)

где h_w – потеря энергии между сечениями I и 2. ,

Следовательно, подставив в (2.38) значения , получим

.

(2.39)

Это уравнение носит название "Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости" и является основным уравнением гидравли­ки, устанавливающим баланс энергии в потоке жидкости. В дальнейшем индексы "ср" у скоростей ставить не будем, помня, что скорости в уравнении (2.39) являются средними. Заметим, что практически все расчёты потоков производятся с помощью урав­нения Бернулли.