1.3. Определение сил давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности

Найдем силу давления жидкости на плоскую стенку (рисунок 1.8). Для удобства рассуждений совместим наклонную стенку с плоскостью листа. Буквой С обозначим центр тяжести стенки, h_c – глубина погружения центра тяжести под уровень. Выберем на стенке элементарную малую площадку dF. Гидростатическое давление, действующее на площадку р=ρgh (будем полагать, что атмосферное давление, передающееся на стенку через жидкость и действующее на стенку справа, уравновешивается). Тогда сила, действующая на площадку

(1.35)

т.к. h=l·sin α, то

(1.36)

Рис. 1.8

Равнодействующая сил, действующих на все элементарно малые площадки, составляющие стенку

(1.37)

Интеграл является статическим моментом стенки относительно оси АА

.

(1.38)

Подставляя (1.37) в (1.36), получим

(1.39)

Таким образом, сила избыточного гидростатического давления на плоскую стенку открытого сосуда равна гидростатическому давлению в центре тяжести стенки, умноженному на площадь стенки F.

Для расчетов не достаточно знать величину силы давления, а нужно знать в какой точке эта сила приложена. Что касается направления этой силы, то известно (см. свойства гидростатического давления), что она направлена по нормали к стенке. Воспользуемся теоремой моментов, по которой момент равнодействующей силы равен сумме моментов сил, составляющих

(1.40)

или

(1.41)

отсюда

(1.42)

Интеграл представляет собой момент инерции стенки относительно оси АА – J_АА, следовательно

(1.43)

Имея в виду то, что

(1.44)

где J₀ – момент инерции стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести стенки, получим

(1.45)

Отсюда следует, что точка приложения силы полного давления (или так называемый центр давления) расположена ниже центра тяжести стенки. При горизонтальном расположении стенки центр ее тяжести и центр давления совпадают.

Найдем силу давления жидкости на криволинейную поверхность.

При криволинейной стенке силы давления, направленные нормально к каждой элементарной площадке криволинейной поверхности, имеют разные направления. Поэтому задача определения силы полного давления несколько усложняется.

Для простоты рассмотрим определение силы полного давления жидкости на правильную цилиндрическую поверхность (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Выберем на криволинейной поверхности элементарно малую площадку dF. По нормали к ней действует сила давления

dP=ghdF.

(1.46)

Разложим силу dP на две составляющие dP_x и dP_z. Обозначив угол наклона силы dP к горизонту буквой , будем иметь:

	dPx=dPcos = ghdFcos =ghdFz	(1.47)
	dPz=dPsin = ghdFsin =ghdFx

где dF_x – проекция площадки dF на плоскость x;

dF_z – проекция площадки dF на плоскость z.

Проинтегрируем выражения (1.47)

(1.48)

где h_c – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной стенки;

p_c – давление в центре тяжести F_z.

(1.49)

Здесь h·dF_x – объем элементарной призмы с основанием dF_x;

V – объем тела давления.

Объем тела давления в данном случае – это объем, ограниченный криволинейной стенкой и плоскостями x и z.

Определив составляющие P_x и P_z , легко найти суммарную силу давления Р

(1.50)

Направление полного давления определяется углом 

(1.51)

Если жидкость находится слева (см. рис. 1.9), то величины P_x и P_z будут теми же, что и в предыдущем случае, но с обратным знаком. При этом под величиной P_z следует понимать вес жидкости в объеме тела давления, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.