Глава 4. Ламинарное движение жидкости

4.1. Потери на трение при равномерном движении

П ри исследовании любого режима движения и в том числе ламинарного ставится задача нахождения потерь напора и расчёта поля скоростей. Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис.4.1).

Рис. 4.1

В соответствии с уравнением Бернулли

.

(4.1)

Выделим в движущейся жидкости объём диаметром 2r и длиной l. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объёма:

P1 – P2 – T = 0,

(4.2)

где Р₁ = p₁ r² – сила давления на сечение 1-1;

р₂ = p₂ r² – сила давления на сечение 2-2;

Т = 2rl – сила трения, действующая на поверхности цилиндра;

 – касательное напряжение.

Подставим значения Р₁, Р₂, Т в (4.2):

(p1 – p2) r2 – 2rl = 0.

(4.3)

Отсюда

,

(4.4)

где p_тр = p₁ – p₂ – потеря давления между сечениями 1-1 и 2-2.

Таким образом, устанавливается закон распределения каса­тельных напряжений по сечению потока. Закон этот линейный и свидетельствует о том, что в центре потока, когда r = 0,  = 0, а на стенке r = r₀ ,  = _max = . Эпюра касательного напряжения показана на рис. 4.1.

4.2. Поле скоростей и потери напора при ламинарном режиме движения жидкости

Для получения закона распределения скоростей по сечению потока запишем в соответствии с законом Ньютона

.

(4.5)

Знак "минус" в правой части обусловлен тем, что скорость от центра к стенке убывает и, следовательно, градиент скорости имеет отрицательное значение. Приравниваем (4.4) и (4.5):

.

(4.6)

Разделим переменные

.

(4.7)

Возьмём интеграл

.

(4.8)

Для нахождения постоянной интегрирования С зададимся граничными условиями. Такими условиями являются условия прили­пания: при r = r₀, v = 0 и, следовательно

.

(4.9)

Отсюда получим закон распределения скоростей по сечению потока

.

(4.10)

Уравнение (4.10) представляет собой параболоид вращения, т.е. при ламинарном режиме имеем параболический закон распределе­ния скоростей. В центре трубопровода, когда r = 0 скорость имеет максимальное значение

,

(4.11)

а на стенке r = r₀ скорость равна 0.

Применим полученный закон распределения скоростей для рас­чёта расхода. Рассмотрим элементарное кольцо толщиной dr. Рас­ход жидкости через это кольцо (рис. 4.2)

.

(4.12)

или, так как dF = 2rdr

.

(4.13)

Рис. 4.2

Возьмём интеграл по всему сечению трубопровода

.

(4.14)

Найдём среднюю по сечению скорость

.

(4.15)

Сравнив среднюю скорость с максимальной (4.11), убеждаемся, что .

Определим значение коэффициента . Из (4.15) имеем

.

Умножим правую часть и разделим на 2v_cp, Кроме того запишем р_тр = gh_тр, следовательно

.

(4.16)

Или, помня, что, /=, а d₀=2r₀, получим

.

(4.17)

Если сравнить (4.17) с общей формулой для расчёта потерь по длине

убеждаемся, что для ламинарного режима

.

(4.18)

Зная закон распределения скоростей легко получить значение коэффициента  для ламинарного режима

.

(4.19)

Обозначим , тогда

.

(4.20)

Итак, полученная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в два раза превышает кинетическую энергию, подсчитанную по средней скорости.

Изложенная теория хорошо подтверждается опытом, за исклю­чением следующих случаев:

1. при течении на начальном участке трубы, где формируется поле скоростей;

2. при течении со значительным теплообменом, так как неизотермичностъ существенно искажает поле скоростей.