3.2. Понятие о гидродинамическом подобии

Сложность процессов, протекающих в жидкости не позволяет в полной мере использовать результаты теоретического анализа для решения практических задач. Поэтому в гидравлике широко используется эксперимент в сочетании с теорией. Очевидно, что при постановке эксперимента возникает нужда в исследовании не натурных образцов гидравлических сооружений и устройств, а мо­делей этих устройств. При создании и исследовании моделей воз­никают вопросы: 1. какие явления и процессы подобны изучаемому; 2. что измерять при проведении эксперимента; 3. как обрабаты­вать результаты исследования. Ответы на эти и другие вопросы даёт наука о постановке эксперимента – теория подобия.

Подобными явлениями называются явления качественно одина­ковые, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями. Гидродинамическое подобие – это подобие геометрические, кинема­тическое и динамическое.

Геометрическое подобие означает пропорциональность сходст­венных размеров и равенство соответствующих углов:

; ; .

(3.3)

Кинематическое подобие – это подобие линий тока и пропор­циональность сходственных скоростей, ускорений:

; ; .

(3.4)

Здесь индексы "Н" относятся к натурному потоку, "М" – к мо­дельному. Соответственно L – линейный размер, F – площадь, W – объём, v – скорость, t – время, a – ускорение, С – масштаб моделирования.

Динамическое подобие – это подобие масс, плотностей, сил:

; ; .

(3.5)

Здесь m – масса,  – плотность,  – динамический коэффи­циент вязкости, Р – сила.

Получим основной критерий гидродинамического подобия. В соответствии с законом Ньютона Р = mа. Для подобных потоков

(3.6)

или

.

(3.7)

Имея в виду значения масштабов моделирования (3.5), можно записать

.

(3.8)

Поскольку комплексы (3.8) для подобных потоков должны быть одинаковыми, запишем

.

(3.9)

Чаще пользуются другим выражением. Так как t = L/v, то

.

(3.10)

Полученный выше комплекс называется критерием Ньютона.

Согласно первой теореме теории подобия подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подобия Ne_н = Ne_м .

Вторая теорема подобия утверждает, что интеграл дифферен­циального уравнения, описывающего данный процесс, может быть представлен в виде зависимости между критериями подобия

f (k1, k2, k3 …) = 0.

Если результаты опыта представить в критериальной форме, то эти критериальные зависимости будут общими для всех подоб­ных явлений.

Для получения общего гидродинамического подобия необходимо иметь подобие по всем силам, действующим в системе. Однако это не всегда возможно. В таких случаях довольствуются частичным (локальным) подобием по силам, преобладающим в изучаемом пото­ке. При этом критерий Ne преобразуется в другие критерии.

Пусть в потоке преобладают силы трения. Тогда в соответ­ствии с законом Ньютона:

.

(3.11)

Подставим в критерий Ньютона вместо Р – Т и получим

.

(3.12)

В подобных системах , поэтому

(3.13)

или

.

(3.14)

Запишем (3.14) через масштабы моделирования

.

(3.15)

Помня то, что С_ /С_ = С_, получим после сокращения

.

(3.16)

Следовательно

.

(3.17)

Указанный выше комплекс назван критерием Рейнольдса и для подобных потоков, в которых главную роль играют силы трения

.

(3.18)

Для круглой трубы характерным линейным размером является диаметр d и

.

(3.19)

Если в потоке преобладают силы тяжести, то в качестве силы Р в критерий Ньютона следует подставить G = mg

.

(3.20)

После очевидных сокращений получим:

.

(3.21)

Отношение, обратное (3.21) называется критерием Фруда

.

(3.22)

Следовательно, в тех случаях, когда моделируются явления, при которых преобладают силы тяжести, должно соблюдаться равенство критериев Фруда натуры и модели.

Если в жидкости преобладают силы давления, то в критерий Ньютона подставляют Р=рF. После несложных преобразований получают критерий Эйлера

.

(3.23)

В подобных потоках требуется равенство критериев Эйлера для натуры и модели

Euн = Euм.

С физической точки зрения всё полученные критерии представляют собой меру отношения сил инерции к преобладающим в потоке жидкости силам.

Современная теория подобия рекомендует все результаты экспериментов представлять в виде критериальной зависимости Еu = f (Re, Fr).

Покажем, что коэффициент сопротивления  в формуле для расчёта потерь напора по длине , тоже является критерием подобия. Докажем, это положение. Так как , то после несложных преобразований получим

,

(3.24)

или

.

(3.25)

Ниже мы убедимся в том, что  = f (Re) и тогда получим, что

,

(3.26)

а это согласуется с требованиями теории подобия.