40. Алгоритм Евклида.

Th: Пусть А – коммутативное кольцо, f, gA[X] – многочлены от одной переменной степени 0. Предположим, что старший коэффициент многочлена g является единицей в А. Тогда существуют однозначно определенные многочлены q, rA[X], такие, что f=gq+r и degr<degg ◄Пусть f(X)=a_nXⁿ+…+a₀, g(X)=b_dX^d+…+b₀, где n=degf, d=degg, так что a_n, b_d0 и b_d – единица в А. Применим индукцию по n. Если n=0 degg>degf, то положим q=0, r=f. Если degg=degf=0, то положим r=0, q=aⁿb_d^1. Предположим, что теорема доказана для многочленов степени < n (где n>0). Мы можем предполагать, что deggdegf (иначе возьмем q=0 и r=f). Тогда f(Х)=aⁿb_d^1X^ndg(X)+f₁(X), где f₁(X) имеет степень < n. По индукции мы можем найти q₁, r, такие, что f(Х)=aⁿb_d^1X^ndg(X)+q₁(X)g(X)+r(X) и degr<degg. Положим q(Х)=aⁿb_d^1X^nd+q₁(X), чем доказательство существования q, r и закончено. Что касается единственности, то предположим, что f=q₁g+r₁=q₂g+r₂, где degr₁<degg и degr₂<degg. Тогда (q₁–q₂)g=r₂–r₁. Так как по предположению старший коэффициент g есть единица, то deg(q₁–q₂)g=deg(q₁–q₂)+degg. Поскольку deg(r₂–r₁)<degg, то предыдущее соотношение может выполняться только при q₁–q₂=0, т.е. q₁=q₂ и, следовательно, r₁=r₂, что и требовалось показать►

42. Гомоморфизмы колец. Теорема об эпиморфизме колец.

Def: ] R₁ и R₂ – кольца. Отображение :R₁R₂ наз. гомоморфизмом, если (+)=()() и ()=()(), ,R.

Th об эпиморфизме колец: ] :R₁R₂ – есть эпиморфизм колец R₁ и R₂ 1) KerR₁; 2) R₂R₁/_Ker ◄аналогично док-ву для групп►

43. Прямая сумма колец. Примеры.

R₁ и R₂ – кольца. Q_R1 – нулевой элемент R₁. Рассмотрим R=R₁…R_k –декартово произведение. На R введем операцию

1) (r₁,…,r_k)+(r₁,…,r_k)=(r₁+r₁,…,r_k+r_k);

2) (r₁,…,r_k)(r₁,…,r_k)=(r₁r₁,…, r_kr_k) R(+,) кольцо.

Def: R – внешняя прямая операция суммы колец R₁…R_k, т.е. R= R₁+^…+^ R_k.

Св-ва: ] R_i={r_i=(Q_R1, …, Q_R(i-1), r_i, Q_R(i+1),…, Q_Rk), r_iR}. Тогда: 1) R_iR; 2)  ij r_ir_j=r_jr_i; 3) Любой rR однозначно представим в виде r=r₁+…+r_k; 4) R_i(R_j)=/ij/=O_R.

Def: ] R – кольцо, R_i<R, i=1,k. R= R₁+^…+^R_k – внутренняя прямая сумма колец R₁…R_k, если: 1) R_iR (идеал), i=1,k; 2) ij, r_ir_j=r_jr_i, r_iR_i r_jR_j; 3)  rR  r₁R₁, …, r_kR_k, т.ч. r=r₁+…+r_k.