- •1.Отображения. Виды отображений. Композиция отображений. Примеры.
- •2. Обратное отображение. Критерий обратимости отображения.
- •3. Бинарные отношения на мн-вах. Отношение эквивалентности. Примеры.
- •4. Разбиение множества и классы эквивалентности.
- •5. Основное свойство отношения эквивалентности.
- •6. Фактор множества. Примеры.
- •7. Алгебраические структуры. Определения и примеры полугрупп и моноидов.
- •8. Определения и примеры групп.
- •9. Определения и примеры колец.
- •10. Определения и примеры полей. Делители нуля.
- •11. Подгруппа. Критерий подгруппы.
- •12. Подкольцо. Критерий подкольца.
- •13. Подполе. Критерий подполя.
- •14.Гомоморфизмы алгебраических структур с одной и двумя бинарными операциями. Примеры.
- •15. Подгруппа, порожденная заданным подмножеством. Примеры.
- •16. Индекс подгруппы.
- •17. Теорема Лагранжа.
- •18. Нормальные делители группы и их свойства. 19. Понятие фактор-группы.
- •20. Теорема об эпиморфизме групп.
- •21. Внешнее прямое произведение групп.
- •22. Внутреннее прямое произведение групп. Критерий прямого произведения групп.
- •23. Связь внешнего и внутреннего прямых произведений групп.
- •24. Циклические группы. Классификация циклических групп.
- •25. Подгруппы циклических групп.
- •26. Подгруппы конечных циклических групп.
- •27. Фактор-группы циклических групп.
- •28. Группы подстановок. Симметрическая группа.
- •29. Теорема Кели.
- •30. Разложение подстановок в произведение независимых циклов.
- •31. Цикловая структура подстановки и ее порядок.
- •32. Представление подстановок в виде произведения транспозиций. Четные подстановки.
- •33. Критерий четности подстановки. Знакопеременная группа.
- •36. Подкольца и идеалы кольца. Подкольцо порожденное мн-вом.
- •39. Деление с остатком. Нод и нок многочленов.
- •40. Алгоритм Евклида.
- •42. Гомоморфизмы колец. Теорема об эпиморфизме колец.
- •43. Прямая сумма колец. Примеры.
31. Цикловая структура подстановки и ее порядок.
Def: ] gSn [1r1…nr0n] наз. цикловой структурой подстановки g, если r1+…+ nrn=n и g представима в виде произведения ri циклов длины i=1,n. (ri – кол-во циклов длины i).
Пр.: g1=(1,2)(3,4), [10,22,30,40].
Утв.: ] gSn, тогда если g – цикл, т.ч. [10,22,…,i1…,n0], то порядок подстановки ordg=i. Если g имеет циклич. структуру [1r1…nr0n], то ordg=НОК(i1,…,ik: rij0, j=1,k, i=1,n).
Пр.: g=(1,2)(3,4), ordg=НОК(2)=2
◄] g=(a1,…,ak), g2=(a1,a3,…), gk1=(a1,ak…), gk=(a1)…(ak)=e ►
g=(1,3,5), g2=(1,5,3), g3=(1)(3)(5); g=(1,2,4,3), g2=(1,4)(2,3), g3=(1,3,4,2), g4=(1)(2)(3)(4)
] g=g1…gt – представим g в виде произв. независимых циклов длины k1,…,kt. Тогда gS=(g1…gt)S=g1SgtS, т.к. независ. циклич. перестанов. Но gS=e giS=e i=1,t, т.е. ordgi/S ordg=НОК(ordgi)=НОК(i1,…,it: rij0) ►
Пр.: g=(1,3,5)(4,6),(2), [11, 21, 31, 40, 50, 60],
ordg=НОК(1,2,3)=6
32. Представление подстановок в виде произведения транспозиций. Четные подстановки.
Def: Подстановка g, являющаяся циклом длины Z, наз. транспозицией.
Пр.: (1,2)(3)…(10) – транспозиция.
Утв.: ] gSn. Тогда g – есть произведение транспозиций ◄] g=g1…gt – произведение независимых циклов, gi=(i1…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik), отсюда вытекает► (ij)(ij)=e.
Пр.: g=(1,3,5)(4,5,6), (1,2,3)=(1,2)(1,3),
(4,5,6)=(4,5)(4,6) g=(1,2)(1,3)(4,5)(4,6), ordg=3.
Def: Подстановка gSn – наз. четной подстановкой, если g есть произведение четного числа транспозиций.
33. Критерий четности подстановки. Знакопеременная группа.
Def: Мн-во всех четных подстановок An наз. знакопеременной группой.
Утв.: An – группа; AnSn{( An:Sn)=Z}◄►
Утв.: ] gS и [1r1…nr0n] – циклич. структура подст. g если d(g)=n-(ri+…+rn) – четное, то подстановка четная ◄] g=g1…gt – произв. независ. циклов. Кроме того gi=(i1…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik) (их всего k-1 штука). Раскладывая каждый цикл в виде произведения транспозиций, получим, что g есть произведение. r2+2r3+…+(n-1)rn=
=(r1+2r2+3r3+…+nrn)-(r1+…+rn)=n-(r1+…+rn)=d(g)►
36. Подкольца и идеалы кольца. Подкольцо порожденное мн-вом.
Def: ] R – кольцо, подкольцо I<R наз. идеалом, если rR rII (т.е. iI: riI). Обознач.: IR (a+II, aII ).
Def: ] MR R – кольцо, тогда <M>R=Ri (Ri<R, MRi) – подкольцо, порожд. мн-вом М; (M)R=Ii (IiR, MIi) – идеал, порожд. мн-вом М в R.
Замеч.: <M>R(M)R – не всегда верно.
Замеч.: Если R – кольцо с единицей, то (M)R={Rm1+…+Rmk} miM и {m1… mk}=M.
Def: R – кольцо IR: 1) ] I – главный идеал, если I=(i)k=iR; 2)] R– коммут. Кольцо, если I<R, I – главный идеал, то R– кольцо главных идеалов.
39. Деление с остатком. Нод и нок многочленов.
В P[x] определено деление с остатком, т.е a(x)b(x)P[x], a(x) делится на b(x) с остатком, если q(x),r(x)P[x], т.ч. 1) a(x)=G(x)q(x)+r(x); 2) deg r(x)<deg b(x).
Def: ] a1(x), …, an(x)P(x) (не все равные нулю) а) d(x) – наз. общим делителем a1(x), …, an(x), если i1,n d(x)|ai(x); б) d(x) наз. НОД мн-нов a1(x), …, an(x), если 1) d(x) – общий делитель a1,…,an; 2) d(x) – общего делителя a1,…,an справедливо d(x)|d(x). Обознач. d(x)=НОД(a1,…,an).
Def: НОК(a(x),b(x))=a(x)b(x)/НОД(a(x),b(x)). НОК – самый маленький многочлен, который делится и на a(x) и на b(x).