- •1.Отображения. Виды отображений. Композиция отображений. Примеры.
- •2. Обратное отображение. Критерий обратимости отображения.
- •3. Бинарные отношения на мн-вах. Отношение эквивалентности. Примеры.
- •4. Разбиение множества и классы эквивалентности.
- •5. Основное свойство отношения эквивалентности.
- •6. Фактор множества. Примеры.
- •7. Алгебраические структуры. Определения и примеры полугрупп и моноидов.
- •8. Определения и примеры групп.
- •9. Определения и примеры колец.
- •10. Определения и примеры полей. Делители нуля.
- •11. Подгруппа. Критерий подгруппы.
- •12. Подкольцо. Критерий подкольца.
- •13. Подполе. Критерий подполя.
- •14.Гомоморфизмы алгебраических структур с одной и двумя бинарными операциями. Примеры.
- •15. Подгруппа, порожденная заданным подмножеством. Примеры.
- •16. Индекс подгруппы.
- •17. Теорема Лагранжа.
- •18. Нормальные делители группы и их свойства. 19. Понятие фактор-группы.
- •20. Теорема об эпиморфизме групп.
- •21. Внешнее прямое произведение групп.
- •22. Внутреннее прямое произведение групп. Критерий прямого произведения групп.
- •23. Связь внешнего и внутреннего прямых произведений групп.
- •24. Циклические группы. Классификация циклических групп.
- •25. Подгруппы циклических групп.
- •26. Подгруппы конечных циклических групп.
- •27. Фактор-группы циклических групп.
- •28. Группы подстановок. Симметрическая группа.
- •29. Теорема Кели.
- •30. Разложение подстановок в произведение независимых циклов.
- •31. Цикловая структура подстановки и ее порядок.
- •32. Представление подстановок в виде произведения транспозиций. Четные подстановки.
- •33. Критерий четности подстановки. Знакопеременная группа.
- •36. Подкольца и идеалы кольца. Подкольцо порожденное мн-вом.
- •39. Деление с остатком. Нод и нок многочленов.
- •40. Алгоритм Евклида.
- •42. Гомоморфизмы колец. Теорема об эпиморфизме колец.
- •43. Прямая сумма колец. Примеры.
27. Фактор-группы циклических групп.
Утв.: G– цикл. группа H<G, тогда G/H – цикл. группа ◄: G(G) – гомоморфизм: Ker= H<G. Th об эпиморфизме (G)G/H. Покажем (G) – циклическая группа. ] G=<a>, тогда <(a)>=(G)►
] G– цикл. группа, |G|=p11… pkk – простые числа. Тогда GZp11+…+Zpkk (внешняя прямая сумма) ◄Сначала покажем, что если G=G1+G2, Gi=<gi>, i=1,r, G– циклич. НОД(n1,n2)=1, где ordg1=n1, ordg2=n2. ■] НОД(n1,n2)=1. Выберем элемент g=(g1+g2), тогда
ordg=НОК(ordg1,ordg2)=ordg1ordg2/НОД(ordg1,
ordg2)=n1n2 G– циклич. группа. //порядок элемента равен порядку группы G=<g>//. В обратную сторону: G– циклич. группа, т.е. G=<g>=<g1~,g2~>, но порядок
ord(g1,g2)=n1n2=ordg1ordg2/НОД(ordg1,ordg2)=НОК(n1,n2) Заметим, что НОК(ordg1,ordg2)| НОК(n1,n2), т.е. n1n2| НОК(n1,n2) НОК(n1,n2)=1■ Из этого следует, что Zp11+…+Zpkk – цикл. группа и |Zp11+…+Zpkk|=p11…pkk=|G| GZp11+…+Zpkk►
Замеч.: Рассмотрим две группы (р– простое число) G1=Zp2(+) и G2=Zp+Zp(+), |G1|=|G2|=p2, G1– циклич. G2– не циклич., т.к. (a,b) Zp+Zp; org(a,b)=НОК(orga,orgb)= G1G2 3) При гомоморф. порожд. G1 должен перейти в порожд. G2, а этого не происходит, т.к. не изоморфизм, т.к. порядок изменяется ordgord((g)).
28. Группы подстановок. Симметрическая группа.
Def: ] М– мн-во любые биективные преобразования мн-ва М :ММ наз. подстановками на М. В дальнейшем б.р. |M|<. Исп. запись
Мн-во всех подстановок на мн-ве M обознач. SM.
Св-ва: 1) SM – группа относит операции композиции отображ: 1:ММ, 2:ММ, 12:ММ; 2)] |M|=|N|, тогда SMSN ◄►
Def: ] М={1,…,n}. Группа SM=SN наз. симметрической группой подстановок порядка n. Пр.:
29. Теорема Кели.
Th Кели: ] G– конечная группа, тогда nN и HSn: GH ◄] G={g1,…,gn}. Рассмотрим : GSn, заданное след. образом
] H=(G). Покажем, что – инъективное отображение. Допустим, что gi=gj, по gigjG, т.е. gkgi= gkgj (gk– элементы последней строки подстановки (gigj) k=1,n gi=gj – противореч. Покажем, что – гомоморфизм, т.е. (gigj)=gigj =// см. вставку 1//=(gi)(gj). ] M=(G), т.о. : G(G)=H является изоморфизмом, т.е GH<SGSn►
Следствия: 1) Сущ. конечное число различных групп заданного порядка; 2) Число различных конечных групп не более чем счетно.
30. Разложение подстановок в произведение независимых циклов.
Def: ] gSn и g=(a11,…,a1k)(aS1,…,aSks), aiji{1,…,n}, причем {a1,…,ak}{a1,…,ak}=, для ,{1,…,s} и k1+…+ks=n, 1ki n. Тогда такое представление подстановки g наз. цикловой записью подстановки g и ki длине цикла (ai1…aik).
Пр.:
(1,3,5)(2,4)(6)(7)(1,7,6,)(2,5,4,)(3)=(1,3,2,5,7,6)(4)
Def: 1) подстановка, состоящая из одного не единичного цикла наз. циклом, т.е g=(a1…as); 2) Циклы (a1,…,ak) и (b1,…,bk)Sn наз. независимыми, если {a1,…,ak}{b1,…,bk}={}; 3) Подстановки g1 и g2S наз. независимыми, если любые циклы подстановок g1 и g2 образуют независимые циклы.
Пр.: g1=(1,2)(3,4), g2=(5,6,7) g1 и g2 – независимые подстановки.
Св-ва: 1) Если g1 и g2 – независимые подстановки, то g1g2= g2g1 – композиции; 2) g Sn представима в виде произведения независимых циклов.