Шпоры по дискре (3 семестр)
.doc
22. (1 из 3) Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы |
22. (2 из 3) Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы |
Утверждение: Пусть A:LpLp , тогда М – матрица линейного оператора: М=, где А0 – нильпотентная матрица (т.е. rN: ); A1 – обратимая матрица (т.е. |A1|0); такая что МА и G(M)G(A) ◄ Рассмотрим N2(A)=, pi – неприводимые многочлены из P[x]. Преобразуем N2(A): p1=…=ps=x; ps+1,…,pk – отличны от x. Получим: N2(A)=, где А0= и А1=. Рассмотрим |А1|=; Заметим, что |S(p)|0, где р(х)х. Действительно: (S(p))=|Е-S(p)|=p, но |S(p)|=p(0) (p(0) – является условной записью свободного коэффициента многочлена p), но так как р(х)х, то р(0)0 |A1|0. |
Рассмотрим А0=, но S(xk)= S(xk)k=0 A0 – нильпотентна.► Утверждение: (свойство) Пусть А0 LpLp, |Р|<∞,А0 – нильпотентная. Тогда G(A0) – дерево. ◄Т.к. А0=, то Утв достаточно доказать для случая А0=S(). Пусть uциклу графа G(A0), причем длина которого k>1, т.е. для некоторого kN выполняется u=u или (-Е)u=0 (где -Е – нильпотентная-единичная = обратимая) u=0 нет циклов G(A) – дерево, где u=0 – корень дерева.► Утверждение: Пусть А=, А0 – нильпотентная матрица, А1 – обратимая матрица. Пусть С(А) – подграф графа G(A), состоящий из всех вершин графа G(A), принадлежащих какому либо циклу. еVC(A) рассмотрим подграф графа G(A) – De(A) вида: а) = {e}{vVG(A)|vVC(A) и путь (e,v) в графе G(A)} б) rrEG(A) |
22. (3 из 3) Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы |
23. (1 из 2)Построение графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы |
Рассмотрим граф , полученный из De(A) добавлением ребра (е,е). Тогда: 1) С(А) G(A1) 2) eC(A), G(A0) ◄без доказательства►
|
Утверждение: Пусть А0:LpLp и rN т.ч. =0, |P|=q0, т.е. поле конечно. Для того, чтобы построить G(A0) надо найти значение следующих параметров: 1) L – число слоев (уровней) дерева G(A0) 2) Ni – число вершин слоя i, i=1…L 3) Ki – число концевых вершин слоя i, i=1…L (концевые – в них не входят ребра, но из них могут выходить ) 4) R(v) – число ребер, входящих в вершину v. Утверждение: Пусть A0=S(k), тогда: 1) L=k 2) N0=1; N0+…+Ni=qi, i=1…L 3) ki=0, ik 4) R(v)={0,q} ◄ =, т.е. L=k (здесь - вектор (вершины)).
|
23. (1 из 2)Построение графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы |
24. (1 из 1)Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью обратимой матрицы |
Найдем число вершин графа G(A0), из которых корень дерева достижим за не более чем I шагов. Легко видеть, что эти вершины имеют вид . Таких векторов qi. Покажем, что R(v){0,v}. Рассмотрим вершину =v. Легко видеть, что: 1) если S10, то R(v)=0 2) если S1=0, то переходит в , где bP, т.е. R(v)=q►
|
Утверждение: (свойство) Пусть , такая что – обратима , – конечное поле. Тогда состоит только из свободных циклов (без подходов). ◄Пусть . Рассмотрим последовательность , где ; Так как , то или по линейности отображения можно вынести за скобки , т.е. - чисто периодич. – состоит из свободных циклов. Т.е. взяв любой вектор получаем цикл, подходов нет►
|
25. (1 из 2) Цикловые термы. Сведение задачи построения графа линейного преобразования, заданного со помощью обратимой матрицы, к задаче построения линейного преобразования, заданного с помощью сопровождающей матрицы степени неприводимого многочлена. |
25. (2 из 2) Цикловые термы. Сведение задачи построения графа линейного преобразования, заданного со помощью обратимой матрицы, к задаче построения линейного преобразования, заданного с помощью сопровождающей матрицы степени неприводимого многочлена. |
Теорема: Пусть А0:LpLp, |P|=q, A0, 11…kL Положим m1 – число элементов последовательности 1…k, равных 1, m2 – равных 2 и т.д. до mk – число элементов данной последовательности, равных L (например последовательность 2,3,3,5, тогда m1=0,m2=1, m3=2, m4=0, m5=1). Тогда G(A0) определяется следующими параметрами: 1) L=max(1…k) 2) R(v){0,} 3) N0=1, N0+…+NL= 4) Ki=Ni- ◄Доказать самим► Определение: Пусть ; -обратимо. Цикловой структурой преобразований - называется формальная сумма: , где - число всех циклов графа длины - все возможные длины циклов графа . - называется цикловым термом. Определение: Пусть - цикловые структуры; , - цикловые термы |
Определим произведение а) Сумма цикловых термов. б) Произведение цикловых термов в) , где - результат применения операции а) к . Утверждение: Пусть матрица ; - обратимы . ◄Без доказательства► //Для матрицы вида чтобы построить соответствующий граф есть соответствующее утверждение.//
|
26. Построение графа линейного преобразования, заданного с помощью сопровождающей матрицы степени неприводимого многочлена (без доказательства) |
26. Построение графа линейного преобразования, заданного с помощью сопровождающей матрицы степени неприводимого многочлена (без доказательства) |
Теорема: Пусть - линейное преобразование, заданное с помощью матрица . (- порядок конечного простого поля), - простое, , где - неприводим, .(отличен от не делится на ) Тогда , где - минимальное натуральное число такое, что , а определяется из неравенств . ◄Без доказательства► Алгоритм построения графа линейного преобразования 1) - строим вторую нормальную форму матрицы
- неприводимые и 2) Для построим - дерево |
3) Для пользуясь теоремой строим (цикловая структура) 4)Пусть =>
5) К каждой вершине добавляем .
|