Шпоры по дискре (3 семестр)
.doc
16. (1 из 1) Подобие матриц над полем. Критерий подобия матриц над полем |
17. (1 из 3) Сопровождающая матрица многочлена над полем и ее свойства |
Определение: , – матрицы над полем называются подобными, если – обратимая матрица над полем (обозначается ). Теорема: (критерий) Пусть , – матрицы над полем . --, Е-А, - - -матрицы над , – ед. матрица ◄без доказательства► Следствие: k-)=k-) , k=1,2,…
|
Определение: Пусть :LpLp – линейное преобразование, заданное с помощью матрицы А. Пусть А()={q()Р[] | q()()=0, Lp}. Множество А() называется множеством аннулирующих многочленов линейного преобразования . q()=Ckk+Ck-1k-1+…+C0E, где q()=Ckk+C0 В матричной форме: q(A)()=0 Lp. Утверждение: А() – идеал кольца Р[], Р[] – кольцо главных идеалов ◄а) если f1,f2A(), то (f1-f2)A() б) gР[] и fA() g*fA() Проверим: g()*f()=(g*f)() (g()=Q, f()=F) Q*F=F*Q (g*f)()()=(g()*f())()=(g())(f()())=g()(0)=0 g*fA()► Сл А()=<m()>, m()Р[]. Определение: Унитарный многочлен m(x) аннулирующий преобразование и имеющий минимальную степень называется минимальным многочленом преобразования . Если задано с помощью матрицы А, то m() или mA() – минимальный многочлен матрицы А. Утверждение: А – матрица над полем Р. mA()=, где () – характеристический многочлен матрицы А размером nxn. (()=|E-A|) - есть n2 миноров (n-1)-ого порядка. Если в условии утверждения k(E-A)=Diag(1,…1,f,…,fk), то mA()=fk. ◄()=f1…fk
|
17. (2 из 3) Сопровождающая матрица многочлена над полем и ее свойства |
17. (3 из 3) Сопровождающая матрица многочлена над полем и ее свойства |
=f1…fk ► Определение: Матрица S(f)=- называется сопровождающей матрицей многочлена f()=n-Cn-1n-1-…-C0, f()P[], P-поле Утверждение: K(E-S(f))= ◄E-S(f)= Найдем .Заметим, что =1, =1,…,=1. Найдем =det(E-S(f))=
|
= = =(-Cn-1)n-1-, т.е. =f()► |
18. (1 из 2) Существование и единственность представления матрицы над полем в 1-ой нормальной форме |
18. (2 из 2) Существование и единственность представления матрицы над полем в 1-ой нормальной форме |
Определение: -матрица над полем размером nxn; А называется матрицей в первой нормальной форме, если , где , fiР[] (каждый предыдущий многочлен делит последующий)(размер матрицы nxn) Теорема: А-матрицы размером nxn над полем Р ! N1(A) – матрица в первой нормальной форме: АN1(A). ◄Пусть К(E-A)=Diag, где fiP[],deg fi1, S0, fi|fi+1. Заметим, что ft()0 (если бы ft()=0, то характеристический многочлен был бы равен 0, а это невозможно в силу определения характерестического многочлена или |k(E-A)|=|E-A|=f1…ft=n+…0). Рассмотрим матрицу: Для доказательства утверждения достаточно показать, что SA. Для этого найдем каноническую форму. Но = |
=~=K(E-S(f))=K(E-A) AS, но S – в первой нормальной форме. Докажем единственность: Допустим, что АS’=, S’≠S. Тогда K(E-A)=Diag(1..1,f’1…f’ξ)= =Diag(1…1,f1…ft)ξ=t и f’i=fiS’=S► Алгоритм: требуется построить матрицу в первой нормальной форме, для заданной А, т.е. : 1 K(E-A)=Diag (1,…,1,f1,…,ft) 2) N1(A)= т.е нахождение 1-ой нормальной формы сводится к нахождению канонической формы. |
19. (1 из 6) Существование и единственность представления матрицы над полем во 2-й нормальной форме |
19. (2 из 6) Существование и единственность представления матрицы над полем во 2-й нормальной форме |
Определение: Пусть –матрица размера над полем . Матрица во второй нормальной форме, если: , где , - неприводимые многочлены над полем , ,.
// число блоков // Теорема: Пусть – матрица над полем , тогда – матрица во второй нормальной форме, такая что (единственность с точностью до перестановки блоков). ◄ Пусть , где Пусть , - неприводимые многочлены над , где . При этом: (*)
|
Рассмотрим сопровождающие матрицы Рассмотрим . Покажем, что . Рассмотрим матрицу Найдем . Для этого вычислим.
|
19. (3 из 6) Существование и единственность представления матрицы над полем во 2-й нормальной форме |
19. (4 из 6) Существование и единственность представления матрицы над полем во 2-й нормальной форме |
Но
Тогда, , , т.е. . Тогда ► ЕДИНСТВЕННОСТЬ. ◄Пусть , где kij удовлетворяет системе неравенств (*), p1,…,ps – неприводимые многочлены. Построим матрицу N1(N2(A)).
|
ВНИМАНИЕ. В матрице ниже, мы сгруппировали сопровождающие матрицы следующим образом: взяли многочлен р1 минимальной степени и поместили его матрицу наверх, затем взяли многочлен р2 минимальной степени, и его матрицу поставили следующей по диагонали, и так далее до рк минимальной степени. Затем операция повторяется с оставшимися сопровождающими матрицами (смотри пример ниже). Рассмотрим матрицу: Т.к. приводимые преобразования однозначны, то и матрица N2(A) – единственна.► Пример:
|
19. (5 из 6)Существование и единственность представления матрицы над полем во 2-й нормальной форме |
19. (6 из 6) Существование и единственность представления матрицы над полем во 2-й нормальной форме |
Алгоритм. Построение по Пусть А – матрица над полем размера . Надо построить .
|
Пример: N1(A)=S(2+1)=; N2(A)= =N1(A) Пример: N1(A)= |
20. (1 из 2) Минимальный многочлен линейного преобразования и способы его вычисления |
20. (2 из 2) Минимальный многочлен линейного преобразования и способы его вычисления |
Пусть - линейное преобразование линейного пространства ( - поле) и заданное с помощью матрицы . Пусть , где или // - преобразование -раз самого себя// , где - множество аннулирующих многочленов линейных преобразований (или матрицы ) Утверждение: Множество аннулирующих многочленов является идеалом кольца многочленов. ◄Надо проверить: 1) (т.у. что это подкольцо) 2) (проверка определения идеала)► Утверждение 2: - кольцо многочленов является кольцом главных идеалов, порожденное одним элементом (многочленом ), существует многочлен, порождающий множество аннулирующих многочленов.
Определение: - минимальным многочленом линейного преобразования (или матрицы ), если: 1) - унитарный 2) , т.е. - аннулирующий многочлен линейных преобразований (или матрицы ) 3)
|
Определение: Пусть - линейное преобразование (задано с помощью матрицы ). Тогда , где - характеристический многочлен ; - минимальный многочлен ; - матрица размера . ◄Без доказательства► Следствие: Пусть , тогда .
|
21. (1 из 4) Граф линейного преобразования линейного пространства над конечным полем. Циклы и деревья. |
21. (2 из 4) Граф линейного преобразования линейного пространства над конечным полем. Циклы и деревья. |
||
Пусть - множество, , . Пара , где - называется графом, где - множество вершин, - множество ребер. Определение: Пусть - множество, - граф, где , - множество вершин, - множество ребер (это определение учитывает петли), т.е. - множество всех двух элементов подмножеств множества (это определение не учитывает петли).
О
|
здесь
поэтому
кол-во элементов
|
кол-во элементов
Пояснение: , // - двух элементные множества (т.е. двух различных элементов ; ; пара из одинаковых элементов сюда не входит)// - ориентированный граф. Определение: Пусть - линейное преобразование линейного пространства над полем . - граф линейного преобразования , где 1) 2) ; Замечание: В существуют петли, т.е.
|
Пример:
Определение: Рассмотрим последовательность элементов т.ч. : а) если все различные и , то будем говорить, что имеет цикл длины (просто цикл)
б) если все различны и для некоторого , то имеет цикл длины и подход длины .
Определение: а) Подграф графа называется деревом, если:
|
21. (3 из 4) Граф линейного преобразования линейного пространства над конечным полем. Циклы и деревья. |
21.(4 из 4) Граф линейного преобразования линейного пространства над конечным полем. Циклы и деревья. |
1. такое, что такое, что . 2. не содержит циклов; - корень дерева
б) т.ч. и , , где - корень дерева ровно за шагов в корень . Будем говорить, что элементы образуют -ый ярус дерева .
Определение: Графы и изоморфны, если - биективное отображение, т.ч.
|
Проверить на изоморфизм:
- в графе такого преобразования нет графы не изоморфны
Утверждение: Если , то . ◄Пусть //из подобия// Рассмотрим т.ч. , где - обратная матрица - ребра графа , т.е. Проверим , т.е. , но и ►
|