20. Линейное пространство (см. Выше). Базис и координаты. (см. Выше). Размерность пространства (см. Выше).

21. Матрица и определители n-го порядка. Алгебраически едополнения и миноры.

Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащаястрок истолбцов. Числа, составляющие матрицу, называютсяэлементами матрицы. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число. Определителем квадратной матрицыпорядка,, называется числогде-- определитель матрицы порядка, полученной из матрицывычеркиванием первой строки и столбца с номером.  Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.Предложение 14.6   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .Предложение 14.7   Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .Предложение 14.8   Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.Предложение 14.9   Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Предложение 14.10   Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число. Предложение 14.11   Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю. Алгебраическим дополнением к элементу матрицыназывается число, равное, где-- определитель матрицы, полученной из матрицывычеркиванием-ой строки и-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементуматрицыобозначается.Пример.   Пусть . Тогда

Минор матрицы. А - прямоугольная матрица размеров m*n, k - любое целое положительное число, не превышающее min(m,n). Выбираем в матрице произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

22. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Методы вычисления ранга матрицы.

Пусть дана матрица размерови число, не превосходящее наименьшего из чисели:. Выберем произвольнострок матрицыистолбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранныхстрок истолбцов, называетсяминором порядка матрицы. Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2,,-- миноры первого порядка.

Миноры второго порядка:

1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор ;

2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор ;

3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор

Миноры третьего порядка:

строки здесь можно выбрать только одним способом,

1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор ;

2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор

Предложение 14.23   Если все миноры матрицы порядкаравны нулю, то все миноры порядка, если такие существуют, тоже равны нулю. Доказательство.     Возьмем произвольный минор порядка. Это определитель матрицы порядка. Разложим его по первой строке. Тогда в каждом слагаемом разложения один из множителей будет являться минором порядкаисходной матрицы. По условию миноры порядкаравны нулю. Поэтому и минор порядкабудет равен нулю.Определение 14.11   Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Ранг невырожденной квадратной матрицы порядкаравен, так как ее определитель является минором порядкаи у невырожденной матрицы отличен от нуля.Предложение 14.24   При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть . Доказательство.     Транспонированный минор исходной матрицы будет являться минором транспонированной матрицы, и наоборот, любой минорявляется транспонированным минором исходной матрицы. При транспонировании определитель (минор) не меняется. Поэтому если все миноры порядкав исходной матрице равны нулю, то все миноры того же порядка втоже равны нулю. Если же минор порядкав исходной матрице отличен от нуля, то весть минор того же порядка, отличный от нуля. Следовательно,.Определение 14.12   Пусть ранг матрицы равен . Тогда любой минор порядка, отличный от нуля, называетсябазисным минором.    Определение 14.13   Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю. Определение 14.14   Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.  Предложение 14.25   Система столбцов (строк) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой системы.    

Сформулируем теорему, которая называется теорема о базисном миноре. Теорема 14.2   Любой столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов, проходящих через базисный минор Предложение 14.26   Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему. Доказательство.     Пусть ранг матрицы равен. Возьмем столбцы, проходящие через базисный минор. Предположим, что эти столбцы образуют линейно зависимую систему. Тогда один из столбцов является линейной комбинацией других. Поэтому в базисном миноре один столбец будет линейной комбинацией других столбцов. Этот базисный минор должен быть равен нулю, что противоречит определению базисного минора. Следовательно, предположение о том, что столбцы, проходящие через базисный минор, линейно зависимы, не верно. Итак, максимальное число столбцов, образующих линейно независимую систему, больше либо равно. Предположим, чтостолбцов образуют линейно независимую систему. Составим из них матрицу. Все миноры матрицыявляются минорами матрицы. Поэтому базисный минор матрицыимеет порядок не больше. По теореме о базисном миноре, столбец, не проходящий через базисный минор матрицы, является линейной комбинацией столбцов, проходящих через базисный минор, то есть столбцы матрицыобразуют линейно зависимую систему. Это противоречит выбору столбцов, образующих матрицу. Следовательно, максимальное число столбцов, образующих линейно независимую систему, не может быть больше. Значит, оно равно, что и утверждалось.Предложение 14.27   Ранг матрицы равен максимальному числу ее строк, образующих линейно независимую систему.

Доказательство.  Ранг матрицы при транспонировании не меняется. Строки матрицы становятся ее столбцами. Максимальное число новых столбцов транспонированной матрицы, (бывших строк исходной) образующих линейно независимую систему, равно рангу матрицы. Предложение 14.28   Если определитель матрицы равен нулю, то один из его столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк). Доказательство.     Пусть порядок матрицы равен. Определитель является единственным минором квадратной матрицы, имеющим порядок. Так как он равен нулю, то. Следовательно, система изстолбцов (строк) является линейно зависимой, то есть один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных.Теорема 14.3   Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк). Определение 14.15   Назовем элементарными преобразованиями матриц следующие действия над ними: 1) перестановка строк или столбцов; 2) умножение строки или столбца на число отличное от нуля; 3) добавление к одной из строк другой строки, умноженной на число или добавление к одному из столбцов другого столбца, умноженного на число.  Предложение 14.29   При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Доказательство.     Пусть ранг матрицы равен,-- матрица, получившаяся в результате выполнения элементарного преобразования. Рассмотрим перестановку строк. Пусть-- минор матрицы, тогда в матрицеесть минор, который или совпадает с, или отличается от него перестановкой строк. И наоборот, любому миноруматрицыможно сопоставить минор матрицыили совпадающий с, или отличающийся от него порядком строк. Поэтому из того, что в матрицевсе миноры порядкаравны нулю, следует, что в матрицетоже все миноры этого порядка равны нулю. И так как в матрицеесть минор порядка, отличный от нуля, то и в матрицетоже есть минор порядка, отличный от нуля, то есть. Рассмотрим умножение строки на число, отличное от нуля. Миноруиз матрицысоответствует минориз матрицыили совпадающий с, или отличающийся от него только одной строкой, которая получается из строки минораумножением на число, отличное от нуля. В последнем случае. Во всех случаях илииодновременно равны нулю, или одновременно отличны от нуля. Следовательно,. Пусть к-ой строке матрицыприбавлена ее-ая строка, умноженная на число. Рассмотрим миноры порядкав матрице. Если через минорне проходит-ая строка, то он совпадает с минором, расположенным в тех же строках и столбцах в матрице, и следовательно, равен нулю. Если через минорпроходят и-ая и-ая строки, то он получается из минора, расположенного в тех же строках и столбцах матрицы, прибавлением к-ой строке минора-ой строки, умноженной на. По свойству определителя. Следовательно,. Пусть через минорпроходит-ая строка и не проходит-ая. Тогдаотличается от-ой строкой. Эта строка вявляется строкой, к которой добавлены элементы-ой строки, умноженные на. По свойствам определителей, где-- минор порядкаматрицы, стоящий в-ой строке и в тех же строках, что и минор, исключая-ую, а знак "" связан с возможным изменением порядка строк. Так как все миноры порядкав матрицеравны нулю, то. Итак, в матрицевсе миноры порядкаравны нулю. Следовательно,, то есть при выполнении элементарного преобразования третьего типа ранг не может повыситься. Предположим, что, и. Тогда в матрицек-ой строке прибавим-ую строку, умноженную на число. В результате получим исходную матрицу. По только что доказанному. Получили противоречие:. Предположениене верно, следовательно,.

Алгоритм нахождения ранга матрицы. Пусть требуется вычислить ранг матрицы размеров. Если матрицанулевая, то по определению. В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что. Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число. В результате вторая строка принимает видЗатем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число. В результате третья строка принимает видПроцесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке. Преобразованная матрица имеет вид

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля . В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что. Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число. В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число, и т.д. В результате получаем матрицу

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то , так как минор. В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д. На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с-ой , равны нулю (или отсутствуют при ), а минор в первыхстроках и первыхстолбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен. Следовательно,.