9. Классы интегрируемых функций. Свойства определенных интегралов. Теоремы «о среднем».

Классы интегрируемых функций. Функция f(x), постоянная на сегменте [а, b], интегрируема по Риману на этом сегменте, интегрируемые на данном сегменте функции обязаны быть ограниченными на этом сегменте. Возникает вопрос об описании классов функций, интегрируемых по Риману на сегменте [а, b]. Среди этих классов важную роль играет класс непрерывных на сегменте [а, b] функций. Теорема 9.1. Непрерывные на сегменте [а, b] функции интегрируемы на этом сегменте по Риману. Доказательство. Пусть f(x) непрерывна на сегменте [а, b]. Выберем произвольное число . Поскольку функция f(x), будучи непрерывной на сегменте, является равномерно непрерывной на нем, то для любого данногосуществует такое число, что если— любые две точки сегмента [а,b], для которых , то. Отсюда следует, что разность между точными верхней и нижней гранями f(x) на любом сегменте, имеющем длину, меньшую, будет меньше числа. Выберем теперь разбиениесегмента [а,b] с диаметром d, меньшим указанного числа . Пусть. По определению верхней и нижней сумм

. Используя в этом соотношении установленное для выбранного нами разбиения неравенство , утверждающее, что разность между точными гранями на любом частичном сегменте меньше, мы получим, что для выбранного разбиения По основной теореме заключаем, что функция f(x) интегрируема на [а, b]. Теорема доказана.

Следующая теорема дает достаточное условие интегрируемости некоторого класса разрывных функций. Теорема 9.2. Пусть функция f(x) определена и ограничена на сегменте [а, b]. Если для любого числа можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин, меньшую, то функцияf(x) интегрируема по Риману на сегменте [а, b]. Доказательство. Пусть М и m — точные верхняя и нижняя грани функции f(x) на сегменте [а, b]. Заметим, что если М = m, т. е. функция f(х) постоянна, она интегрируема. Поэтому будем считать, что М>m. Пусть — произвольное число. Покроем точки разрыва функцииf(x) конечным числом интервалов, сумма длин которых не превосходит числа . Точки сегмента [а, b], не принадлежащие указанным интервалам, очевидно, образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся сегментов. Назовем эти сегменты дополнительными. На каждом из таких сегментов функция непрерывна, а, следовательно, и равномерно непрерывна. Значит, существуют такие числа , что если, тодля всех' и, принадлежащихi-му дополнительному сегменту. Пусть . Тогда если взять разбиения дополнительных сегментов на частичные сегменты так, чтобы диаметр каждого из частичных сегментов не превосходил, то разность между точными верхней граньюи нижней граньюфункцииf(x) на k-м частичном сегменте будет не больше . Объединяя все разбиения дополнительных сегментов и указанные выше интервалы с присоединенными к ним концами, мы получим разбиениевсего сегмента [а,b]. Для так построенного общего разбиения [а, b]

где в сумму с одним штрихом отнесены слагаемые, отвечающие частичным сегментам, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а в сумму с двумя штрихами — все остальные. Рассмотрим первое слагаемое правой части записанного выше равенства. Поскольку для любого k, Далее, из свойства равномерной непрерывности функцииf(x) на дополнительных сегментах получаем, что. Таким образом, нами указано разбиение, для которого . По основной теореме получаем, что функция f(x) интегрируема. Теорема доказана.

Следствие. Ограниченная на сегменте [а, b] функция f(x), имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте. Действительно, в условии предыдущей теоремы достаточно выбрать интервалы, покрывающие точки разрыва, одинаковой длины, меньшей чем , где р — число точек разрыва функции.Замечание. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [а, b], а функция g(x) совпадает с функцией f(x) во всех точках сегмента [а, b], кроме, быть может, конечного числа точек. Тогда функция g (х) интегрируема на сегменте [а, b] и Теорема 9.3. Монотонная на сегменте [а, b] функция f(x) интегрируема по Риману на этом сегменте. Доказательство. Случай, когда функция f(x) постоянна на сегменте [а, b], можно исключить. Рассмотрим, например, неубывающую на сегменте [а, b] функцию f(x). Пусть — произвольное число. Выберем разбиениесегмента [а,b] с диаметром . Заметим, что поскольку f(x) не постоянна, то f{b)>f(a). Оценим разность S—s= верхняя и нижняя грани f(x) на . Получим . Но для неубывающей функции . Поэтому и функция f(x) интегрируема. Для невозрастающей функции рассуждения аналогичны. Теорема доказана.

Теорема 9.4. Пусть f(x) — интегрируемая по Риману на cегменте [а, b] функция, M и m — ее точные верхняя и нижняя грани на [а, b]. Пусть, далее, функция ф (х) непрерывна на сегменте [m, M]. Тогда сложная функция h(x)=y[f(x)] интегрируема по Риману на сегменте [а, b].

Доказательство. Пусть ие — произвольное положительное число. Положим„ Ввиду того, что ф равномерно непрерывна на [m, M], существует такое , что, еслии. Выберемеще и таким, чтоВ силу интегрируемости функцииf(x) на [а, b] существует такое разбиение {xk} сегмента [а, b], для которого . Положим

Разобьем целые числа 1, ..., n на два множества А и В: число , если, число, если. Если индекс, следовательно, в силу равномерной непрерывности функциина сегменте [m, М] получим, что . Действительно, если рассматривается индекс , то мы получим, что т. е. при разность по абсолютной величине не превосходит , где , . Следовательно, в силу равномерной непрерывности функции ф на всем сегменте [m, М) мы получим, что,.

Гак как последнее неравенство справедливо для любых х и у, принадлежащих сегменту , то и Далее, если , то, очевидно, что . Запишем теперь разность

Осталось произвести оценку для величины имеем (здесь мы пользуемся тем, что все слагаемые являются неотрицательными). Учитывая, что при выбранном разбиении, получаем, что . Окончательно получим, что (Выше мы воспользовались тем, что ) Таким образом, функцияh (х) интегрируема, и теорема доказана.

Следствие. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [а, Ь], то для любого положительного числа а функция интегрируема на этом же сегменте.

Действительно, достаточно рассмотреть непрерывную функцию и применить предыдущую теорему. Свойства интеграла.

а) Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [а, b]. Тогда функции f(x)

интегрируемы на сегменте [а, Ъ000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000±g(x) также интегрируемы на этом сегменте, причем

. Действительно, при любом разбиении сегмента [а, b] и любом выборе промежуточных точек справедливы следующие равенства:. Поэтому, если существует предел правой части при стремлении диаметра разбиений к нулю, то существует предел и левой части. Из линейных свойств этого предела, которые устанавливаются точно так же, как и для предела последовательностей, вытекает доказываемое свойство.

б) Если функция f(x) интегрируема на сегменте [а, b], то функция cf(x), где с = const, также интегрируема на этом сегменте, причемВ самом деле, для любого разбиения сегмента [а,b] и любого выбора промежуточных точек выполнено соотношение, откуда, так же как и выше, получаем доказательство утверждения б).Следствие. Линейная комбинация интегрируемых функций является интегрируемой функцией.

в) Пусть функции f(x) и g(x) интегрируема на сегменте [а, b]. Тогда f(x)g(x) также интегрируема на этом сегменте.

Запишем очевидное тождество:

Заметим, далее, что в силу теоремы 9.4 из интегрируемости какой-либо функции следует интегрируемость ее квадрата. Поскольку функцииf(x)+g(x) и f(x)—g(x) по свойству а) интегрируемы, то по сказанному интегрируемы и их квадраты, а следовательно, в силу указанного, функция f{x)g(x) интегрируема.

г) Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [а, b]. Тогда эта функция интегрируема на любом сегменте [с, d], содержащемся в сегменте [а, b].

Выберем произвольное число и такое разбиениесегмента [а,b), что . Добавим к точкам разбиенияточкиc и d. Для верхних сумм S' и нижних s' вновь полученного разбиения в силу леммы 3 § 2 тоже будет справедлива оценка . Рассмотрим разбиение сегмента [с,d], образованное точками разбиения всего сегмента [а,b]. Для верхних и нижних сумм разбиения выполнено, очевидно, соотношение , поскольку каждое неотрицательное слагаемоев выражении будет слагаемым и в выражении . Таким образом, , и функция f(x) интегрируема на сегменте [с, d]. Свойство г) доказано.

; - соглашения, б/д

д) Если функция f(x) интегрируема на сегментах [а, с] и [с, b], то функция f(x) интегрируема и на сегменте [а, b], причем . При а =b это свойство справедливо в силу принятых выше соглашений. Предположим сначала, что а<с<b. Выберем произвольное число . Пусть— такие разбиения сегментов [а, с] и [с, d], что на каждом из этих сегментов. Пусть— разбиение сегмента [а,b], состоящее из точек разбиений . Очевидно, что разность между верхней и нижней суммами разбиенияне будет превосходить. Интегрируемость функции f(x) на сегменте [а,b] доказана. Пусть теперь — произвольное разбиение сегмента [а,b], содержащее с. Тогда

где берется по частичным сегментам, принадлежащим [а, с]г а— по частичным сегментам, принадлежащим [с, d]. Поскольку это верно для любого разбиения, то, перейдя к пределу при стремлении диаметра разбиений к нулю, получим, чтоЕсли с не принадлежит [а,b], то сегмент [а, b] принадлежит либо [с, b], либо [а, с]. Пусть, например, с<а<b. В силу свойства г) функция f(x) интегрируема на [а, b]. Действительно, функция f(x) интегрируема на [с, b] по условию, а Далее, поскольку с<а<b, Но по принятому соглашению. Таким образом, свойство д) установлено нами и для случая, когда с лежит вне сегмента [а,b]. Заметим, что формулу этого свойства можно записать так:

Теоремы о «сркднем». Первая формула среднего значения. Пусть каждая из функций f(x) и g(x) интегрируема на сегменте [а, b] и функция g(x), кроме того, неотрицательна (или неположительна) на этом сегменте. Обозначим через M и m точные грани f(x) на сегменте [а, b]. Тогда найдется число , удовлетворяющее неравенствами такое, что справедлива следующая формула:При дополнительном предположении о непрерывности f(x) на сегменте [а,b] можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка такая, что справедлива формула.Следствие. Сформулируем отдельно доказанную нами теорему для частного случая g(x) = l.

Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [а, b], а символы М и m обозначают точные грани f(x) на указанном сегменте. Тогда найдется число , удовлетворяющее неравенствами такое, что справедлива формула .. При дополнительном предположении о непрерывности f(x) на [а,b] можно утверждать, что на этом сегменте найдется точка такая, что справедлива формулаПоследнюю формулу обычно также называют формулой среднего значения.Вторая формула среднего значения. Пусть функция f(x) интегрируема, а функция g(x) монотонна на сегменте [а, b]. Тогда на этом сегменте найдется число такое, что. В случае, когда g(x) не возрастает и неотрицательна, доказана формула. Рассмотрим теперь общий случай невозрастающей функции g(x). В этом случае функция h(x)=g(x)—g(b) не возрастает и неотрицательна. Подставив ее вместо g(x) в формулу, доказанную выше, получим, что. Окончательно получаем равенство

Определенный интеграл как функция перемнного верхнего предела. Поизводная от интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию, заданную на отрезке, и предположим, что она интегрируема на отрезке. Тогда при любомэта функция будет интегрируема на отрезкеи, следовательно, функцияопределена при всех. Примы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, чтодля любой функциии точкииз её области определения. Итак, функцияравняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции, не обязательно непрерывной.Теорема 3.11   Функция , определённая выше, непрерывна при всехдля любой интегрируемой функции.Доказательство.     Заметим, что если функция положительна, то значениеинтерпретируется как площадь под графиком, лежащая над отрезком. Если датьприращение, то площадь получит приращение в виде площади полоски, лежащей над отрезком(см. рис.). Эта площадь, вследствие ограниченности интегрируемой функции, мала, если приращениемало; это и означает непрерывность функциив точке.

Проведём теперь более аккуратные рассуждения, не предполагая, что функция принимает положительные значения. Пусть фиксирована точка и взято такое приращение, что. Пользуясь аддитивностью интеграла, получаем, что

Но по функция ограничена, поэтому существует такая постоянная, чтопри всехи, в том числе, при. Воспользовавшись теоремой об интегрировании неравенства, получаем, чтооткудаПриполучаем по теореме "о двух милиционерах", чтои, что означает, что функциянепрерывна справа в любой точке. Рассматривая аналогично отрезокприи, получаем, чтопри, что означает непрерывность функциислева в любой точке. Тем самым функциянепрерывна справа в точке, непрерывна слева в точкеи непрерывна (с обеих сторон) в любой точке, что и требовалось доказать.Теорема 3.12   Пусть функция непрерывна на отрезкеи функцияопределена всё той же формулой. Тогдаимеет производную в любой точке интервала, производную справа в точкеи производную слева в точке, причём эти производные совпадают со значением функциив соответствующей точке:

при иДоказательство.     Снова рассмотрим приращение при,,. Поскольку функциянепрерывна, мы можем применить теорему о среднем к интегралу по отрезку:где-- некоторая точка отрезка. Получаем, деля на:откуда прииз непрерывностиследует, чтопосколькупри. Получили, что правая производная совпадает сво всех точках. Аналогично доказывается, что левая производнаясовпадает сво всех точкахВо внутренних точкахсовпадение производных слева и справа со значениемозначает, что функцияимеет производную, равную. Точно так же доказывается, что производная интегралаот непрерывной функциипо переменному нижнему пределу равняется:Равенствоозначает, что функцияявляетсяпервообразной для на интервале. Другая первообразная -- это, очевидно, функция. Итак, мы получили важный результат о наличии первообразной у любой непрерывной функции:Теорема 3.13   Пусть -- непрерывная на интервалефункция. Тогда на интервалефункцияимеет некоторую первообразную, то естьпри всех. Доказательство.     Для доказательства достаточно фиксировать произвольную точку и положитьПриэти определения не противоречат друг другу, поскольку и та, и другая формулы дают. Нетрудно видеть, что приполучается, приполучаем. Припроизводная слева даёт значение, а производная справа -- значение, так что производные слева и справа совпадают и, что и завершает доказательство. Пусть теперь-- произвольная первообразная для непрерывной функции, заданной на некотором интервале, содержащем отрезок. Мы уже проверили, что функция, такая чтоприслужит тогда первообразной для, а поскольку любые первообразные для одной и той же функции на заданном интервале могут отличаться лишь постоянным слагаемым, получаем, чтогде, при всех, в том числе и прии. Получаеми, откудапосколькуИтак, меняя обозначение переменной интегрирования на, получаем в итоге формулу

(3.6)

где -- произвольная первообразная для функции. Эта формула называетсяформулой Ньютона – Лейбница. Напомним, что мы получили её в предположении, что функция непрерывна. Если функцияимеет разрыв на отрезке, то разность значений первообразной может не иметь никакого отношения к величине определённого интеграла. Поэтому при применении формулы Ньютона - Лейбница нужно строго следить за законностью этого действия. Смысл формулы Ньютона - Лейбница в том, что для нахождения определённого интеграланам достаточно теперь найти произвольную первообразнуюдля функции(напомним, что для этого надо найтинеопределённый интеграл) и взять разность значений этой первообразной в концах отрезка, . Итак, формула Ньютона - Лейбница устанавливает связь между определённым интегралом от данной функции и первообразной для этой функции, то есть между определённым и неопределённым интегралами. Заметим, что смысл этих двух понятий первоначально совершенно различен: неопределённый интеграл -- это набор функций (первообразных), а определённый интеграл -- это число (равное пределу интегральных сумм). При вычислениях разностьчасто называютподстановкой в функцию пределовии обозначают. Таким образом, по определению,а формулу Ньютона - Лейбница можно записать в виде