13. Объем тела. Объем тела вращения и длина кривой в декартовых и полярных координатах и параметрически(см. Выше).

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сеченияS = S(x). Требуется определить объём этого тела. Рассечём это тело плоскостями x = x₀ = a, x = x₁, x = x ₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x _n-1, x = x_n = b на n слоёв (a = x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на каждом из отрезков [x_i-1, x_i] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостямиx = x_i-1 и x = x_i приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основанияи высотой:. Сумма объёмов- объём ступенчатой фигуры - пристремится к искомому объёмуV, поэтому .Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём V получается в результате вращения кривой y = f(x), , вокруг осиOx, то, очевидно, , поэтому. Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигурыABCD вокруг оси Oy, рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса x, толщины , высотыf(x). Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщинуи высотыf(x); суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим.Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусамии, вокруг полярной осинаходится по формуле .

14. Площадь поверхности тела вращения при задании уравнений кривой в декартовых, полярных координатах и параметрически.

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных. Разобьем дугу АВ на n частей точками M₀, M₁, M₂, … , M_n. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x_i и y_i. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна P_i. Эта площадь может быть найдена по формуле: Здесь S_i – длина каждой хорды.Применяем теорему Лагранжа к отношению.Получаем: Тогда Площадь поверхности, описанной ломаной равна Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что Тогда- формула вычисленияплощади поверхности тела вращения.

15. Несобственные интеграды. Интегралы с бесконечными пределами. Сходимость интеграла от неотрицательной функции. Признаки сходимости

Определение 4.1   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке видаи интегрируема на любом конечном отрезке, где. Таким образом, мы можем рассмотреть функциюЕсли эта функция имеет пределто числоназываетсязначением несобственного интеграла первого рода а сам интегралназываетсясходящимся (иными словами, интеграл сходится). Если же предела не существует (например, еслипри), то интегралназываетсярасходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения. Геометрически, в случае , величина несобственного интегралаозначает, по определению, площадь бесконечно длинной области, лежащей в координатной плоскости между лучомна оси, графикоми вертикальным отрезком(см. рис.).

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям, площадь которых конечна (хотя сама областьнеограничена), а расходящиеся (в случае) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когдапри, часто пишут формально:Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площадипутем учёта все большей её частиправый вертикальный отрезок, проведённый при, отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графикомОпределение 4.2   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке видаи интегрируема на любом конечном отрезке, где. Таким образом, мы можем рассмотреть функциюЕсли эта функция имеет пределто числоназываетсязначением несобственного интеграла первого рода а сам интегралназываетсясходящимся (то есть сходится). Если же предела не существует, то интегралназываетсярасходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.  Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции , вычисление несобственного интегралаозначает нахождение площади бесконечно длинной области, лежащей между осьюи графиком, левее вертикальной линии. Условиеозначает, что мы исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, "в минус бесконечность", линию, временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см. рис.).

Винтегралахизнакииназываютнесобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно "обрезать" несобственный предел некоторым конечным значением (или), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку, а затем устремить в бесконечность конечный пределили. Очевидно, что при изменении направления на оси, то есть при замене, интегралпереходит в равный ему интеграли, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интегралпереходит в равный ему интеграл. Таким образом, все свойства интегралов по промежуткуповторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку, изучением которых можно и ограничиться. Так мы далее и поступим, не разбирая отдельно свойств интегралов вида. Наконец, дадим определение интегралу от функции, заданной на всей числовой оси.Определение 4.3   Пусть функция определена при всехи интегрируема на любом отрезке. Возьмём произвольное значение(например,) и будем считать по определению несобственный интегралравным сумме двух несобственных интегралов по промежутками, то естьЕсли при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интегралсчитаетсясходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл считаетсярасходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения). Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки , то есть при выборе двух разных точекиопределение даёт одно и то же, поскольку

(4.1)

Действительно, пусть . Тогда, при любых конечныхимы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:Переходя теперь два раза к пределу, сначала при, а потом при, получаем доказываемую формулу (4.1). Признаки сходимости. ,a_n> 0 . Признак Даламбера: ,, еслиd <1 — ряд сходится, если d >1 — ряд расходится, если d =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Признак Коши: ,, еслиc <1 — ряд сходится, если c >1 — ряд расходится, если c =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Знакочередующийся ряд: ,. Если сходится ряд, то ряд— сходитсяа б с о л ю т н о. Если ряд расходится, а рядсходится, то знакочередующийся ряд— сходитсяу с л о в н о. Признак Лейбница: если a_n монотонно убывая стремится к нулю, то ряд сходится и.