18. Признаки сходимости несобчтвенных интегралов от неограниченных фенкций. Признаки сравнения. См. Выше.

19. Определение линейного пространства. Элементы линейного пространства (вектора). Линейная зависимость и независимость между элементами. Базис и координаты.

Пусть множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число: паре элементов множества,отвечает элемент, называемый суммойи;паре ,отвечает элемент, называемый произведением числаи элемента. Будем называть множестволинейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чиселсправедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. , сложение ассоциативно;

3. существует единственный нулевой элемент такой, что,;

4. для каждого элемента существует единственный противоположный элемент такой, что,

5. , умножение на число ассоциативно;

6. , ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1--8 называют аксиомами линейного пространства. Линейное пространство часто называют векторным пространством,  а его элементы -- векторами. Говорят, что элемент (вектор) линейного пространствалинейно выражается через элементы (векторы) , если его можно представить в виделинейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде . Если любой вектор системывекторов линейного пространствалинейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называетсялинейно зависимой. Система векторов, которая  не является линейно зависимой, называется  линейно независимой. Справедливо следующее утверждение. Система векторов линейного пространствалинейно независима тогда и только тогда, когда из равенстваследует равенство нулю всех  коэффициентов. Если в линейном пространстве существует линейно независимая система извекторов, а любая система из-го вектора линейно зависима, то числоназываетсяразмерностью пространства и обозначается. В этом случае пространствоназывают -мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством. Любая упорядоченная линейно независимая система векторовлинейного пространстваобразуетбазис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса:. Числаназываюткоординатами вектора в базисеи обозначают. При этом для любых двух произвольных векторов-мерного линейного пространства,и произвольного числасправедливо:и. Это означает, что все-мерные линейные пространства “устроены” одинаково -- как пространствовекторов-столбцов издействительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству. Например, доказано, что система векторовиз

, ,...,образует базис втогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, со столбцами:

Для векторов изэто означает, что они образуют базис втогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов.Пусть и-- два базиса в.Матрицей перехода от базиса к базисуназывается матрица, столбцами которой являются координаты векторовв базисе:

...	...

    , Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если, то координаты  векторав базисе, и его координаты  в базисесвязаны соотношениями

Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы Пусть -- прямоугольная матрица размерности:Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из:,,и исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему векторов на линейную зависимость -- это значит установить является система векторов линейно зависимой или нет. Доказано, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Это утверждение позволяет исследовать систему векторовна линейную зависимость следующим образом. Пусть-- исследуемая система векторов. Запишем матрицу, столбцами которой являются векторы:,, и вычислим ее ранг. Если, то исследуемая система векторов линейно независима, если же, то она линейно зависима. Более того, если матрицаприведена к ступенчатому виду элементарными операциями со строками

то векторы - столбцы, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую подсистему, а векторыследующим образом линейно выражаются через базисные векторы:

...