16. Признаки сходиомсти несобственных интегралов. (см. Выше). 1-й и 2-й признаки сравнения интегралов. Абсолютная сходимость.

Общий признак сравнения. Пусть на полупрямой

Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интегралаДоказательство. Пусть сходится. Тогда, согласно критерию Коши, для любогонайдется такое В>а, что для любых А1>В и А2>В выполняется неравенство.Согласно известным неравенствам для интегралов и неравенству получим Отсюда и из неравенства вытекает, что для любых А1>В и А₂>В справедливо неравенство. Следовательно, интегралсходится.

Частный признак сравнения. Пусть на полупрямой функция f(x) удовлетворяет соотношению , где с и — постоянные, >1. Тогда интегралсходится. Если же существует такая постоянная с>0, что на полупрямой справедливо соотношение , в котором ,то интеграл расходится.

Утверждение этой теоремы вытекает из утверждения общего признака сравнения. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегра­лов. Введем понятия абсолютной и условной сходимости интегралов. Пусть f(x) интегрируема по любому сегменту [а, A] .

Определение 1. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится

Определение 2. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а ин-тегралрасходится.

17. Несобственные интегралы от функций, имеющих ращрыв второго рода. Признаки сходиомсти (+см. выше).

Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

значение которого равняется левостороннему пределуЕсли этот предел существует, то несобственный интеграл называетсясходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функциинадс помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком, а затем приближением правого концак точке(см. рис.).

Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла .

Аналогично интегралу по полуинтервалу от функциис особенностью в точке, определяется несобственный интеграл второго рода от функции, имеющей особенность в точкеполуинтервала:если существует пределВ случае существования указанного предела интеграл называетсясходящимся, а в случае, когда предел не существует, -- расходящимся. Свойства несобственных интегралов второго рода

Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с для интеграланадля интеграла от функции с особенностью в точке:Теорема 4.5   Пусть фиксированы числа и функцияинтегрируема на любом отрезке, где, и имеет особенность в точке. Тогда если несобственный интегралсходится, то при любомсходится интеграл. Обратно, если при некоторомсходится интеграл, то сходится и интеграл. Доказательство. Докажем, что из сходимости следует сходимостьпри. Из аддитивности интеграла следует, что при любомимеет место равенство

(4.4*)

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл -- постоянное слагаемое. Значит, предел, задающий интеграл, существует и равен. Докажем второе утверждение теоремы, используя формулу (4.4*). По условию теоремы интеграл по отрезку , не содержащему особенностей функции, существует, так что при любомиз формулы (4.4*) получаем:

Перейдём к пределу при и получим, что

Теорема 4.6 (теоpема сpавнения)   Пусть даны две функции и, заданные наи имеющие особенность в точке, причём при всехвыполняется неравенствоТогда из сходимости интеграла от большей функции следует сходимость интеграла от меньшей функции, причём

(4.5)

а из расходимости интеграла от меньшей функции, следует расходимость интеграла от большей функции:

Теорему 4.6 можно использовать для исследования сходимости интегралов, не вычисляя их значений. Теорема 4.7   Пусть функция имеет особенность в точке. Если интеграл сходится, то сходится также интегралпричём имеет место неравенство Определение 4.8   Пусть функция обладает теми же свойствами, что в предыдущей теореме. Если несобственный интегралсходится, то несобственный интегралназываетсяабсолютно сходящимся. Если несобственный интеграл расходится, а несобственный интегралсходится, а несобственный интегралназываетсяусловно сходящимся. Предыдущая теорема означает, что любой абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся. Теорема 4.8   Пусть для функции , имеющей особенность в точкеи интегрируемой на любом отрезке, где, существует мажорантана, причём несобственный интегралсходится. Тогда несобственный интегралтоже сходится, и.