11. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.

Формула замены переменного в определённом интеграле. Теорема 3.14   Пусть функция непрерывна на отрезке, а функцияимеет непрерывную производнуюна отрезке, причём все значенияприпринадлежат отрезку, в том числеи. Тогда имеет место равенство Доказательство.     Пусть -- некоторая первообразная для, так чтои-- некоторая первообразная для, так чтоПоскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формулато естьгде, то прииимееми, откудаУчитывая, чтои, получаема это и есть доказываемая формула замены переменного.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Теорема 3.15   Пусть функции иимеют на отрезкенепрерывные производныеи. Тогда имеет место формулаЗамечание 3.5   Заметим, что эту формулу можно записать в виде где выражениеназываетсявнеинтегральным членом. Введя обозначения и, мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:Доказательство. Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница: иПусть-- некоторая первообразная для функции, а-- некоторая первообразная для функции. Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то естьозначает, чтогде. Положим теперьии получим:и, откудаНо с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу.

12. Площадь плоской фигуры и длина кривой в декартовых и полярных координатах, а также при параметрическом задании уравнений кривых.

Декартовы координаты.Геометрический смысл определённого интеграла: если f(x)>0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапецииABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b , сверху - функцией y = f(x) . Следствие: если фигура ограничена сверху кривой y = f(x) , снизу - кривой y = g(x) , слева и справа - отрезками прямых x = a и x = b, то ее площадь равна .Область задана в полярных координатах.. Если область D - сектор, ограниченный лучами ,и кривой, формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежутоклучаминаn частей; . На каждом из отрезковвыберем произвольную точку, найдём, тогдаравно площади сектора круга, ограниченного лучами,и дугой окружности радиуса. Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную областьD, её площадь . Приразница междуS_ступ и S - площадью области D - будет тоже стремиться к нулю, т.е. .Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию ABCD задана в параметрическом виде ; то переход в интегралек переменнойt приводит к формуле .Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая AB - график функции кривой y = f(x), имеющей непрерывную производную ,. Тогда точкаM _i имеет координаты (x_i, f(x_i)), звено M_i-1M _i имеет длину . Функцияy = f(x) на отрезке [x_i-1x_i] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что. С учётом этого длина звенаM_i-1M_i равна , длина всей ломаной -. Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла, и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при. Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнениемy = f(x), , определяется формулой.Кривая задана параметрически . Заменим впеременнуюx на переменную t. Так как , то. Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой.Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением ,, легко сводится к предыдущему. Так как, то, рассматривая полярный уголкак параметр, получим, поэтому.