8. Суммы Дарбу и условия существования определенного интеграла.

Определение верхней и нижней сумм. Пусть f(x) —ограниченная на сегменте [а, b] функция и {Xk}— произвольное разбиение этого сегмента. Так как f(x) ограничена на сегменте [а, b], то она ограничена и на любом частичном сегменте [Xk-1,Xk], а поэтому у функции f(x) существуют точная нижняя грань m_k и точная верхняя грань Mk на частичном сегменте [Xk-1, Xk]

Итак, пусть

будем называть соответственно верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения {Xk} сегмента [а, b].

Основные свойства верхних и нижних сумм. Докажем следу­ющие леммы.

Лемма 1. Пусть— интегральная сумма, отвечающая данному разбиению . Тогда при любом выборе промежуточных точек всегда справедливы неравенства гдеs и S — соответственно нижняя и верхняя суммы, отвечающие тому же разбиению.

Доказательство. По определению чисел и заклю­чаем, что для любого из сегмента .Умно­жая написанные неравенства на и суммируя по всем k от 1 до n, получаем требуемое утверждение леммы.

Лемма 2. Пусть —произвольное фиксированное разбие­ние сегмента [а, b], — произвольное положительное число. Тогда можно выбрать промежуточные точки так, чтобы интегральная сумма и верхняя сумма S удовлетворяли неравенству . Промежуточные точки можно выбрать и таким образом, чтобы для интегральной суммы и ниж­ней суммыs выполнялись неравенства .

Доказательство. Пусть — фиксированное разбиение сегмента[а, b] и . Докажем сначала первое утверждение лем­мы. Поскольку , то для выбранного нами найдется точка сегмента такая, что . Умножив эти неравенства на и просуммировав по всем k от 1 до n, получим .

Аналогично в силу того, что , существует такая точка , что .

Последние неравенства после умножения на и суммирования приводят к оценкам. Лемма доказана.

Следствие. Для любого фиксированного разбиения справедливы следующие соотношения:, где точные верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным промежуточным точкам.

Лемма 3. При измельчении данного разбиения верхняя сумма может только уменьшиться, а нижняя сумма — только увеличиться.

Доказательство. Пусть — данное разбиение, а разбиениеполучается из него добавлением только одной новой точки х. Общий случай сводится к данному. Предположим, чтолежит внутри. Тогда в выражении дляS слагаемое заменится на , где . Точная верхняя грань функции на части сегмента не превосходит точной верхней грани функции на всем сегменте. Поэтомуи.

Так как все другие слагаемые в выражении для верхней суммы сохранятся, то мы доказали, что при добавлении точки верхняя сумма может только уменьшиться. Случай, когда к данному разбиению добавляется несколько новых точек, сводится, очевидно к рассмотренному. Точно так же устанавливается, что при измельчении данного разбиения нижняя сумма может только увеличиться. Лемма доказана.

Лемма 4. Для двух произвольных и, вообще говоря, различных разбиений сегмента [а, b] нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхней суммы другого разбиения.

Доказательство. Пусть и— два произвольных разбиения сегмента [a, b], a S', s', S", s" — верхние и нижние суммы этих разбиений соответственно. Обозначим черезобъединение разбиенийи, а через S и s верхнюю и нижнюю суммы разбиения. Заметим, чтоявляется измельчением как разбиения, так и разбиения. Согласно утверждению леммы 3 справедливы неравенства.

Кроме того, в силу леммы 1 получим, что s <S. Пользуясь свойством транзитивности для числовых неравенств и используя три подчеркнутых выше неравенства, заключаем, что . Аналогично устанавливается, что. Лемма доказана.Следствие. Множество верхних сумм данной функции f(x),. отвечающих всевозможным разбиениям сегмента [а, b], ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Действительно, любая верхняя сумма не меньше некоторой фиксированной нижней суммы, следовательно, множество верхних сумм ограничено снизу. Аналогично проводятся рассуждения для: нижних сумм. Также существуют точная нижняя грань множества {S} и точная верхняя грань множества {s}.

Определение 2. Верхним интегралом Дарбу oт функции f(x) называется число I*, равное точной нижней грани множества верхних сумм {S} данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [а, b]. Нижним интегралом Дарбу от функции f(x) называется число , равное точной верхней грани множества нижних сумм {s} данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [а, b].

Лемма 5. Нижний интеграл Дарбу всегда не превосходит верхнего интеграла Дарбу, т. е. Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим,. что . Тогда . Для указанного, согласно определению числа, найдется та­кое разбиение сегмента [а, b], что для соответствующей верх­ней суммы S' будет выполнено неравенство . Точно так же можно указать такое разбиение сегмента[а, b], что для соответствующей нижней суммы s" будет выполнено неравен­ство . Вычтем второе неравенство из первого. Полу­чим . Но , поэтому , т. е. . Получившееся неравенство противоречит утверждению леммы 4. Таким образом, доказываемое утверждение справедливо, т. е. . Пусть, a

произвольное разбиение сегмента [a, b], d — диаметр этого разбиения. Обозначим через разбиение, полученное из разбиенияпутем добавления к немуl произвольных новых точек. Пусть S и s — верхняя и нижняя суммы разбиения , аS' и s' — верхняя и нижняя суммы разбиения . Справедливо следующее утверждение.Лемма 6. Для разностей S—S' и s'—s выполняются следующие неравенства.

Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем провести рассуждения лишь для случая, когда к точкам разбиения добавляется только одна новая точка, и доказать, что в этом случае справедливы неравенства . Пусть вновь добавляемая точка лежит внутри сегмента. Тогда верхняя суммаS будет отличаться от верхней суммы S’ только тем, что одно слагаемое y суммы S заменится двумя слагаемыми у суммы S’. Все остальные слагаемые у верхних сумм S и S' будут общими. Отсюда следует, что . Из последнего соотношения, учитывая, что в силу свойств точных граней, получим, что

Доказательство оценки для нижних сумм аналогично. Лемма доказана.

Определение 3. Число A называется пределом верхних сумм S при стремлении к нулю диаметра разбиений d, если для любого положительного числа можно указать положительное число такое, что при условии выполняется неравенство . Для обозначения указанного предела естественно употреблять символ. Аналогично определяется пределB нижних сумм S при стремлении d к нулю.

Основная лемма Дарбу. Верхний интеграл Дарбу является пределом верхних суммS при стремлении диаметра d разбиений к нулю, т. е. . Аналогично . Доказательство. Проведем доказательство первого утверждения леммы. Заметим, что если функция f (x) =c = const, то S = c(b—d)=I* для любого разбиения. Поэтому . Если f(x) непостоянна, то Фиксируем произвольное положительное число. По определению числасуществует такое разбиение, что верхняя суммаS* этого разбиения будет удовлетворять условию . Обозначим черезl число точек разбиения , не совпадающих с концами; сегмента [а,b]. Пусть — произвольное разбиение сегмента [а,b], диаметр которого удовлетворяет неравенству , и пусть S — верхняя сумма этого разбиения. Произведем измельчение разбиения, добавив к нему отмеченные вышеl точек разбиения . Полученное при этом разбиение обозначим символом. По лемме 6 верхняя сумма S' этого последнего разбиения) удовлетворяет условию Но разбиение можно рассматривать как измельчение разбиения, к которому добавляются точки разбиения, не совпадающие с концами сегмента [а,b]. Поэтому в силу определенияи леммы 3Выше было показано, что, поэтому. Объединяя эти неравенства с установленными выше неравенствами, получаем, что, если только d меньше указанного выше. Следовательно,Для нижних сумм доказательство аналогично. Основная лемма Дарбу доказана.

Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

Вспомогательная теорема. Для того чтобы ограниченная на сегменте [а, b] функция f(x) была интегрируема на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось paвeнcтвo.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(х) интегрируема по Риману на сегменте [а, b]. Тогда существует предел I ее интегральных сумм при стремлении диаметраd разбиений к нулю. По определению предела интегральных сумм для любого существует такое, что для любого выбора промежуточных точекразбиенияс диаметром выполняется неравенство

. Согласно лемме 2 для данного разбиения можно так выбрать промежуточные точки и в каждом частичном сегменте, что будут справедливы неравенства

. Подчеркнем, что, кроме того, для данного разбиения одновременно выполнены неравенства

. Заметим теперь, что

Отсюда, учитывая, что модуль суммы четырех величин не превосходит суммы их модулей, получаем, что . Итак, для любогосуществует такое, что для любого разбиенияc диаметром. справедливо неравенство . Поскольку для любого разбиения выполнены неравенства , то из неравенства вытекает, что , а отсюда, в силу произвольностивытекает, что

Достаточность. Пусть . Согласно основной лемме Дарбу, т. е. верхний интеграл является пределом верхних сумм, а нижний интеграл — пределом нижних сумм при стремлении диаметраd разбиений к нулю. Поэтому для любого можно указать такое число, что для любого разбиения с диаметромd<одновременно выполняются неравенства. При любом, указанном разбиении любая интегральная сумма удовлетворяет неравенствам , а значит, и неравенствам .

Отсюда (для любого разбиения с диаметромd, меньшим ).

Таким образом, , т. е. функция f(x) интегрируема.

Основная теорема. Для того чтобы ограниченная на сегменте [а, b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиениесегмента [а,b], для которого .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция /(х) интегрируема на сегменте [а, b). При доказательстве необходимости вспомогательной теоремы установлено, что для любого существует такое, что для любого разбиения сегмента [а,b] с диаметром d, меньшим , справедливо неравенство . Необходимость доказана. Достаточность. Дано, что для любого существует такое разбиениесегмента [а,b], что для соответствующих верхней и нижней сумм выполнено соотношение . Тогда поскольку

то . Из этого неравенства и из произвольности е заключаем, что , а по вспомогательной теореме получаем, что функция f(x) интегрируема. Теорема доказана.