24. Неоднорродная система и ее совместность. Теорема Кронекера-Капелли.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет. Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

(15.4)

имеет решение ,и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

(15.5)

решений не имеет, то есть является несовместной. Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений дает приведенная ниже теорема. Определение 15.4   Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется матрица , отличающаяся от матрицысистемы наличием дополнительного столбца из свободных членов:Предложение 15.1   Ранг расширенной матрицы либо равен рангу матрицы системы, либо больше его на единицу. Доказательство.    Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы является линейно независимой системой столбцов матрицы, то в силу. Пусть. Предположим, что,. Тогда в матрицеесть линейно независимая система изстолбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице. Тогда подсистема остальныхстолбцов, принадлежащих матрице, должна быть линейно независимой. Следовательно,. Получили противоречие. Предположение, что, неверно.Теорема 15.2   (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Доказательство.     Оно распадается на два этапа. 1. Пусть система имеет решение. Покажем, что . Пусть набор чиселявляется решением системы. Обозначим через-ый столбец матрицы,. Тогда, то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы. Пусть. Предположим, что. Тогда по. Выберем вбазисный минор. Он имеет порядок. Столбецсвободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы. Столбец свободных членов в минореявляется линейной комбинацией столбцов матрицы. В силу свойств определителя, где-- определитель, который получается из миноразаменой столбца свободных членов на столбец. Если столбецпроходил через минор, то в, будет два одинаковых столбца и, следовательно,. Если столбецне проходил через минор, тобудет отличаться от минора порядкаматрицытолько порядком столбцов. Так как, то. Таким образом,, что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что, неверно. 2. Пусть. Покажем, что система имеет решение. Так как, то базисный минорматрицыявляется базисным минором матрицы. Пусть через минорпроходят столбцы. Тогда по теореме о базисном миноре в матрицестолбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

(15.6)

Положим ,,,, остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значенияхполучимВ силу равенства. Последнее равенство означает, что набор чиселявляется решением системы. Существование решения доказано. В рассмотренной выше системе (15.4) , и система является совместной. В системе (15.5) ,, и система является несовместной.