22. Теорема Пуассона. Условие применимости формулы Пуассона для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р→0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n→∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np→λ), то вероятность P_m,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству: .

При условии что р→0, n→∞, а λ= np≤10 из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона: .

22. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Условие их применимости для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_m,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

Свойства:

1. Функция f(x) является четной, т.е. f(-x)=f(x)

2. Функция f(x) – монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х→∞ f(x)→0

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b, при достаточно большом числе n приближенно равна:

Свойства:

1. Функция нечетная, т.е.

2. Функция монотонно возрастающая, причем при х→+∞

22. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины, ряд распределения. Независимость случайных величин.

Случайная величина это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.

Случайной величиной Х называется функция, заданная на множестве элементарных исходов:

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически или графически.

Таблица вида:

х1	х2	…	хi	…	хn
p1	p2	…	pi	…	pn

Х:

или

называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

22. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого ч вероятность того, что случайная величина Ч примет значение, меньшее х.

F(x)=P(X<x)

Свойства:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0≤F(x)≤1.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна 0, на плюс бесконечности равна 1, т.е.:

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x₁, x₂) равна приращения ее функции распределения на этом интервале, т.е.: P(x₁≤X<x₂)=F(x₂)-F(x₁)