- •Числовые ряды. Определение сходящегося числового ряда. Геометрический ряд.
- •Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.
- •Теоремы сравнения (признаки сравнения).
- •Признаки сходимости Даламбера и Коши.
- •Интегральный признак сходимости. Сходимость обобщенного гармонического ряда.
- •Знакопеременные числовые ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда xn.
- •Равномерно сходящиеся последовательности и ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
- •Выражения для радиуса сходимости степенного ряда через коэффициенты ряда. Как найти интервал сходимости степенного ряда?
- •Свойства степенных рядов.
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •Разложение функций ex, sinx, cosx в ряд Тейлора.
- •Событие. Несовместные, равносильные, достоверные, невозможные, равновозможные и единственно возможные, противоположные события. Полная группа событий.
- •Классическое и статистическое определение вероятности.
- •Размещения, сочетания, перестановки.
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Теорема Пуассона. Условие применимости формулы Пуассона для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Условие их применимости для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.
- •Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины, ряд распределения. Независимость случайных величин.
- •Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.
- •Плотность вероятности. Свойства плотности вероятности.
- •Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.
-
Размещения, сочетания, перестановки.
Правило суммы.
Если элемент А1 может быть выбран n1, элемент А2 – другими n2 способами, А3 – отличными от первых двух n3 способами и т.д., Аk – nk способами отличных от первых (k-1), то выбор одного из элементов: или А1, или А2, …, или Аk может быть осуществлен n1+n2+…+nk способами.
Правило произведения.
Если элемент А1 может быть выбран n1, после каждого такого выбора элемент А2 – другими n2 способами и т.д., после каждого (k-1) выбора элемент Аk может быть выбран nk способами, то выбор одного всех элементов А1, А2, …, Аk в указанном порядке может быть осуществлен n1n2…nk способами.
Пусть дано множество из n различных элементов, из него могут быть образованы множества из m элементов. (0≤m≤n).
Размещениями из n элементов по m называются комбинации, составленные из n элементов по m отличающиеся либо составом, либо порядком расположения.
Сочетаниями называются комбинации, составленные из n элементов по m, отличающиеся только составом элементов.
Перестановками называются комбинации, составленные из n элементов, отличающиеся только порядком расположения этих элементов.
Pn=n!
-
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.
Если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(В), добавить новее условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается РА(В) или Р(В/А).
Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.
Р(АВ)=Р(А)РА(В)=Р(В)РВ(А).
Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. РА(В)=P(В).
Зависимость и независимость событий всегда взаимны. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого.
-
Теорема сложения вероятностей.
А) Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В+..+К)=Р(А)+Р(В)+…Р(К)
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: Р(А)+Р(В)+…Р(К)=1.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А)+Р( )=1
Б) (Для совместных событий) Теоремы. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
В случае трех и более совместных событий переходим к противоположному событию L:
L=, т.е. вероятность суммы нескольких совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий.
-
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Теорема. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1,А2,…Аn, образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события F:
Если событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А1,А2,…Аn, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез Р(А1), Р(А2), … Р(Аn), известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные условные вероятности гипотез РF(А1), РF(А2), … РF(Аn). Их можно найти с помощью формулы Байеса:
-
Схема повторных испытаний. Формула Бернулли.
Последовательность независимых испытаний называется схемой Бернули: если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и также.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна: , где q=1-p.
Число всех комбинаций равно . Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения для независимых событий равна . В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, получим .
Число m0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Рm,n по крайней мере не меньше вероятностей других событий Рm,n при любом m.
np-q≤m0≤np+q