8. Равномерно сходящиеся последовательности и ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

Равномерно сходящаяся функциональная последовательность.

Последовательность функций сходится равномерно {y_n(x)}=F(x) на всех х, если для всех ε>0 существует такое N(ε) для всех n>N, всех xεX, что |f_n(x)-F(x)|<ε, для всех точек данного множества.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Х к функции S(x); , если для всех ε>0 существует такое N(ε) для всех n>N, всех xεX,что |.

Признак Вейерштрасса.

Если – сходится и каждый член функционального ряда не превосходит членов численного ряда |f_n(x)|≤a_n, все n≥n₀≥1, то все хεХ, сходится равномерно на Х.

9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

Ряд С₀+С₁Х+С₂Х²+…+С_nXⁿ+… (1) или С₀+С₁(Х-Х₀)+С₂(Х-₀)²+…+С_n(X-Х₀)ⁿ+… (2), где С_i ε R, - называется степенным.

Теорема Абеля. Если ряд 1 сходиться в х₀≠0, то он абсолютно сходится при всех |x|<|x₀|. Если ряд расходится в х₁≠0, то он расходится при всех |x|>|x₁|. Из теоремы следует, что существует число R>0 такое, что при |x|<R – ряд сходиться, а при |x|>R - ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости ряда ряда 1, а (-R;R) – интервалом сходимости. Этот интервал может быть найден через признак Д'Аламбера или Коши.

10. Выражения для радиуса сходимости степенного ряда через коэффициенты ряда. Как найти интервал сходимости степенного ряда?

Тип 1.

(Д’Аламбера)

R=

Признак Коши:

R= - функция Коши-Адамара.

Интервал (-R;R)

Тип 2.

, R – такие же. |x-x₀|<R <=> (x₀-R; x₀+R) – интервал сходимости.

- R=0

- R=∞

R – любое.

11. Свойства степенных рядов.

1. Если R – радиус сходимости , то при всех rε(0;R) ряд сходиться равномерно на отрезке (-r;r)

2. Непрерывность суммы. Если R – радиус сходимости , то сумма ряда непрерывна на всем отрезке [-r;r]ε(-R;R).

3. Если R сумма которого = S(x), то на интервале [α;β]ε(-R;R) функция S(x) интегрирована, т.е.

В частности для всех хε(-R;R) функция S(x) интегрирована на [0;x], т.е. Причем полученный ряд имеет тот же R, что и исходный.

4. Если R радиус ряда, сумма которого =S(x), то внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е. S’(x)=

12. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

y(x) – представим в виде . Т.е. y(x)=, тогда

y’(x)=

y’’(x)=

y’’’(x)=

…

y^k(x)=

Если х=х₀, тогда:

у(х₀)=С₀ С₀=у(х₀)

у’(х₀)=1*С₁ С₁=у’(х₀)/1!

у’’(х₀)=1*2*С₂ С₂=у’’(х₀)/2!

…………… …………

у^k(х₀)=1*2*3*…*k*С_k С_k=у^k(х₀)/k!

Если у(х) имеет в окрестности точки х₀ производные любого порядка, то - называется рядом Тейлора функции у(х).

При х=0 - этот ряд называется рядом Маклорена.

Любой функции можно сопоставить ряд Тейлора, она может как сходиться, так и расходиться, но не обязательно с у(х).

у(х).

Функция разлагающаяся в ряд Тейлора, сходящийся в некоторой окрестности этой функции называется аналитической в этой окрестности.

13. Разложение функций ex, sinx, cosx в ряд Тейлора.

1. f(x)=e^x

f’(x)=f’’(x)=f’’’(x)=e^x

f(0)=e⁰=1

f’(0)=f’’(0)=f’’’(0)=e⁰=1

e^x=1+

R=

2. f(x)=sinx

f’(x)=cosx

f’’(x)=-sinx

f’’’(x)=-cosx

f’’’’(x)=sinx

…

f(0)=0; f’(0)=1; f’’(0)=0; f’’’(0)=-1; f’’’’(0)=0…

sinx=

R= сходится при всех хεR

3. f(x)=cosx

f’(x)=-sinx

f’’(x)=-cosx

f’’’(x)=sinx

…

cosx=1

R= сходится при всех хεR

14. Разложение функций (1+x)^, ln(1+x) в ряд Тейлора.

1. 

…

f(0)=1

f’(0)=α

f’’(0)=α(α-1)

f’’’(0)=α(α-1) (α-2)

…

f^k(0)=α(α-1)…(α-k+1)

…

Rсх. = 1, т.е. ряд сходится при х=±1, сходимость зависит от α.

Если α=m, то начиная с n=m+1 все f(x)=0.

2. 

1-x+x²-x³+x⁴-…+(-1)ⁿxⁿ+…

при |x|<1 ряд равен:

R=1 сходится при х=±1