ВОПРОСЫ (к зачету за 3-й сем) ПО КУРСУ

“ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ”

Лектор С.Н. Чириков. Группы Д3-013,130

1. Числовые ряды. Определение сходящегося числового ряда. Геометрический ряд.

Числовой ряд – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {U_n} называется числовым рядом: u₁ + u₂+ u₃ + … + u_n+ … =

Частичные суммы ряда - S_n, они образуют последовательность {S_n} -последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда u_n –общий член ряда.

S₁=u₁

S₂=u₁+u₂

S_n=u₁+u₂+…+u_n+…

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм (сумма ряда)=

Если предел не существует или бесконечен, то последовательность называется расходящейся.

Геометрический ряд – это сумма всех членов геометрической последовательности с первым членом a и знаменателем q

a₀+a₀q+a₀q²+…+a₀q^n-1+…

S_n= , при q≠1

2. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.

1. Если ряд сходится и его сумма S, то ряд тоже сходится и его сумма S.

2. Если ряды и - сходятся, и их суммы S₁ и S₂, то ряд и его сумма равна S₁±S₂

3. Добавлении (или отбрасывании) конечного числа членов не влияет на сходимость.

Пусть и , тогда начиная с нечетного номера N>ip

Необходимый признак ходимости ряда.

Если ряд сходиться, то .

Следствие: Если , то ряд расходится.

Замечание: Этот признак необходимый, но не достаточный.

3. Теоремы сравнения (признаки сравнения).

1-ый признак сравнения.

Пусть даны и и для любого n U_n≤V_n, если ряд сходится, то и ряд сходится, если расходится, то и расходится. (данная теорема справедлива, если неравенство выполнимо не для всех n, а начиная с некоторого)

2-ой признак сравнения.

Если для рядов и существует предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо расходятся.

- неизвестный ряд.

- ряд сравнения, чаще всего используются:

1. - геометрический ряд:

2. f

4. Признаки сходимости Даламбера и Коши.

Признак Д'Аламбера.

Если для ряда существует конечный предел отношений

Признак Коши.

Если для ряда существует конечный предел отношений

5. Интегральный признак сходимости. Сходимость обобщенного гармонического ряда.

Если f(x) при х ≥1 непрерывна, положительна, монотонно убывает и для всех хεnεN, f(n)=U_n, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом . Теорема справедлива в том случае, если f(x) непрерывна, неотрицательна и монотонно возрастает при х≥а (а>1), то ряд будет сходиться или расходиться одновременно с .

6. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

- произвольные знаки.

- абсолютно сходится, если сходится ряд составленный из модулей его членов

– условно сходится , если - сходится, а ряд из модулей - расходится.

Ряд вида , где все U_n≥0 называется знакочередующимся.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U₁>U₂>U₃>…>U_n… и , то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена S≤U₁

7. Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда  xn.

Функциональной последовательностью называется бесконечное, занумерованное множество функций

Функция F(x) называется пределом функциональной последовательности на Х, если равенство F(x)= выполняется в каждой точке Х или, если для любых хεХ и всех Ε>0 существует N(E;x) при n>N |f_n(x)-F(x)|<E.

Ряд вида (), где f_n(x) – члены функциональной последовательности, называется функциональным рядом.

При каждом фиксированном значении х=х₀ этот функциональный ряд представляет собой обычный числовой ряд.

Если этот числовой ряд сходиться, то значение х₀ – называют точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называют областью сходимости ряда.

Энной частичной суммой функционального ряда называется функция вида: S_n(x)=f₁(x)+f₂(x)+..+ f_n(x).

Суммой функционального ряда называется функция S(x)=, при условии, что этот придел существует в каждой точке Х (области сходимости функционального ряда). А сам ряд называется сходящимся на Х. Область сходимости функционального ряда может быть найдена с помощью признака Д'Аламбера или Коши.