Лекция № 8-9. Уравнения, неравенства и их системы в шкм (часть 2).
Виды уравнений (неравенств) и способы их решения.
Уравнения и неравенства 1-ой степени.
Самостоятельно: Решите уравнение (неравенство) 1-ой степени, выделяя шаги решения.
Уравнение 2(3 – 4х) + 5 = х – 3 |
Неравенство 2(3 – 4х) + 5 < х – 3 |
1. Раскрыть скобки |
|
|
|
2. Перенести слагаемые, содержащие неизвестную, в одну часть уравнения (неравенства), поменяв при этом знак переносимого слагаемого на противоположный |
|
|
|
Привести подобные слагаемые |
|
|
|
4. Обе части уравнения (неравенства) разделить на коэффициент при неизвестной (если он не равен 0). При решении неравенств, если коэффициент отрицательный, то знак неравенства сменить на противоположный. |
|
|
|
|
|
5. Записать ответ |
5. Нанести решение на числовую прямую |
|
|
6. Записать ответ в виде промежутка |
|
|
|
Уравнения и неравенства 2-ой степени.
Самостоятельно: Решите уравнения (неравенства) 2-ой степени, выделяя шаги решения.
Уравнение 1: х2 – 6х + 8 = 0.
Способ 1 (через дискриминант) |
Способ 2 (по формуле четного коэффициента) |
Способ 3 (по теореме, обратной теореме Виета, если а = 1) |
1. Найти дискриминант D = |
1. Найти ¼ дискриминанта по формуле:
|
1. Составить систему:
|
2. Вычислить корни по формуле х1,
2 =
|
2. Вычислить корни по формуле х1,
2 =
|
2. Перечислить модули чисел так, чтобы
их произведение равнялось
|
3. Определить знаки корней (если произведение положительно, то корни имеют тот же знак, что и сумма корней; если произведение отрицательно, то корни имею разный знак). Корни данного уравнения ……………………………… |
||
4. Подобрать корни по заданной сумме: |
,
если D
0.
,
если D
0.
=…
=
Уравнение 2: х2 + 2х – 8 = 0
Способ 1 (через дискриминант) |
Способ 2 (по формуле четного коэффициента) |
Способ 3 (по теореме, обратной теореме Виета, если а = 1)
|
х2 – 6х + 8 > 0.
Способ 1 (метод интервалов) |
Способ 2 (схематическое построение параболы) |
1. Найти нули (составить уравнение и найти его корни) =… = … |
1. Определить точки пересечения параболы с осью Ох (решить квадратное уравнение) =… = … |
2. Построить интервалы (нанести нули на числовую прямую и выделить интервалы)
|
2. Определить направление ветвей параболы (если а > 0, то ветви – вверх, если а < 0, то ветви – вниз). а = … …0, значит, ветви направлены… |
3. Определить знак выражения (функции) на каждом из интервалов (для квадратичной функции знаки чередуются, значит, достаточно определить знак на одном из интервалов).
|
3 . Построить схематически график |
4. Выбрать промежутки, соответствующие неравенству
|
4. Отметить промежутки, соответствующие неравенству, и записать ответ:
|
Самостоятельно: Запишите ответ для следующих неравенств:
Неравенство |
х2 – 6х + 8 < 0. |
х2 – 6х + 8 0. |
Ответ |
|
|
Дробно-рациональные уравнения и неравенства.
Уравнение
|
Неравенство:
|
|
1. Свести уравнение к виду: «дробь» = 0
|
1. Свести неравенство к виду: «дробь» «знак неравенства» 0
|
|
2. Составить систему («дробь» = 0, когда «числитель» = 0, а «знаменатель» 0).
|
2. Составить две системы, при которых дробь будет иметь заданный знак
|
2. Решить неравенство методом интервалов (НИЗО)
|
3. Решить систему (решить 1-ое уравнение; сделать проверку, удовлетворяют ли корни условию «знаменатель» 0).
Ответ: 4. |
3. Решить составленные системы неравенств.
–1
1
4
Ответ:
|
|
х = 4
;
х = –1; х = 4.
Замечание. Неравенство можно было упростить.
Способ 1. Умножить обе части неравенства на –1:
.
Способ 2. Разложить числитель на множители и сократить дробь:
;
;
;
;
;