21. Графическое представление результатов кластерного анализа.

Иерархическая классификация, как уже отмечалось, допускает наглядную интерпретацию. Для того чтобы привязать граф иерархии или дендрограмму к системе прямоугольных координат, введем понятие индексации. Индексациейиерархии называется отображение:hR¹, ставящее в соответствие множествуKhчисло (K)R¹таким образом, что

1.  (K) = 0 для одноэлементных множествK, т.е.K= 1;

2.  (K´) < (K) для каждой пары (K´,K) такой, чтоK´K, K´≠  K.

Индексация иерархии позволяет алгоритмизировать процесс построения дендрограммы. Пусть (h,ν) – некоторая индексированная иерархияhна множествеО= {O¹, O², …,O^N}. Вершины графа иерархии, отвечающие одноэлементным множествам {Oⁱ},i = 1,2, …, N, обозначим черезν_i, а вершины, соответствующиеК(К> 1), обозначимν_К. Введем систему координат с осью абсциссхи осью ординатη.Вначале на осихчерез равные интервалыразмещаются вершины, то есть представляются в виде точек с координатами= (i, 0). Предположим далее, что вершины иуже нанесены на плоскость в виде точек с координатамии. Тогда кластерK = K_iK_jможет быть представлен точкой с координатамис последующим соединением ее с точкамии. Напомним, чтоη _К > max(,) согласно п.2 определения индексации, так что вершинаv_Красположится выше вершини. Заметим, что построенная таким образом дендрограмма может содержать нежелательные пересечения ребер, поэтому вершины переупорядочиваются так, чтобы ребра соединялись только в вершинах. На рис.9 представлены дендрограммы иерархии с пересечением и без. Заметим также, что традиционно ребра диаграммы изображают в виде вертикальных и горизонтальных отрезков, как на дендрограмме без пересечений (рис.9,б).

а) б)

Рис.9. Дендрограммы иерархии примера из п.9.5.1:

а − с пересечением ребер; б − без пересечения ребер

Способы задания индекса νмогут быть разные. Весьма распространена индексация, ставящая в соответствие множествуKhномер шага, на котором это множество было включено в иерархию. В качестве альтернативы индексом может выступать мощность множества, точнееν=K– 1.

Информативность дендрограммы существенно возрастает, если в качестве ординаты кластера K, полученного объединением кластеровK_iиK_j, т.е.K = K_iK_j,выступает расстояние между кластерамиd(K_i, K_j). Такое изображение называютоцифрованным.

Одна из проблем иерархического кластерного анализа – определить, какие метрики позволяют провести оцифрование, удовлетворяющее условиям индексации, или иначе, найти индексацию, такую что ν(К_iК_j) = d(К_i,К_j). Так, для евклидовой метрики ответ на этот вопрос – отрицательный, что можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть пять двумерных объектов, подлежащих кластеризации, образуют конфигурацию, представленную на рис.10,а.

а)

б)

Рис.10. Пример инверсии для евклидовой метрики:

а − исходная конфигурация; б − инверсия

На первом шаге агломеративной процедуры получаем кластер К₁=.{О¹, О²} c координатами центра тяжестиZ(К₁) = (1,5;1). Для кластераК₁, полученного объединениемодноэлементных кластеров {O¹} и {O²}, d(О¹, О²)= 1. Ближайшим кК₁окажется объектО³(точнее одноэлементный кластерК₂={O³}) с координатами центра тяжестиv(К₂)= (1,5; ). На следующем шаге алгоритма образуется, очевидно, кластерК₃=К₁К₂сd(К₁, К₂) = (1 – )², поскольку расстояние между кластерами измеряется по центрам тяжести (квадрат евклидова расстояния). Выходит для кластераК₃потенциальный индекс, равный расстоянию (1–)², оказывается меньше по сравнению с индексомК₁, равным 1. Налицо инверсия, поскольку нарушено требование 2, предъявляемое к индексам:К₁К₃  ν(К₁) < ν(К₃) (см. рис.10, б).

Достаточные условия, когда оцифрование является и индексацией, содержатся в теореме Миллигана. Эта теорема опирается на рекуррентную формулу Жамбю, которая позволяет пересчитывать расстояния между имеющимся кластером Ки вновь образованнымK=K_iK_j (KK_i, KK_j), используя расстояния и индексы, полученные на предыдущих шагах:d(K, K) = a₁d(K,K_i)+a₂d(K,K_j)+a₃d(K_i,K_j)+a₄ν(K)+

+a₅ν(K_i)+a₆ν(K_j)+a₇d(K, K_i)–d(K,K_j),

где a_i– числовые коэффициенты, зависящие от метода определения расстояния между кластерами. Так, при

а₁=а₂=–а₇=1/2 и а₃=а₄=а₅=а₆=0

приходим к расстоянию, измеренному по принципу «ближайшего соседа», а при

а₁=а₂=а₇=1/2 и а₃=а₄=а₅=а₆=0 – «дальнего соседа».

Теорема Миллигана.Пустьh– иерархия наО, полученная с использованием метрикиd(К₁,К₂), для которой справедлива формула Жамбю. Тогда, еслиа₁+а₂+а₃1, а_j 0 для j=1,2,4,5,6 и а₇–min (а₁,а₂),

то отображение , задаваемое формулой(К₁К₂) = =d(К₁,К₂) и условиемν({Оⁱ})=0,i=1,2, …,N, является индексацией.

В заключение отметим, что если рассечь дендрограмму горизонтальной линией на некотором уровне *, получаем ряд непересекающихся кластеров, число которых равно количеству «перерезанных» линий (ребер) дендрограммы; состав кластера определяется терминальными вершинами, связанными с данным «перерезанным» ребром.