22. Многомерное шкалирование. Метрический и неметрический подходы.

Кроме таблиц «объект-признак» источником данных могут служить таблицы «объект-объект», содержащие данные о связях объектов. Математический образ подобных таблиц – квадратная матрица, элемент которой на пересечении i-й строки иj-го столбца содержит сведения о попарном сходстве либо различии анализируемых объектов. Задача состоит в том, чтобы представить эти объекты в виде точек некоторого координатного пространства невысокой размерности. При этом связи объектов должны быть переданы расстояниями между точками. Такая простая геометрическая модель приводит к содержательно интерпретируемому решению: каждая ось порождаемого пространства является одномерной шкалой и соответствует некому латентному признаку. Тем самым объекты наделяются признаками, интерпретация которых связывается с расположением объектов в искомом пространстве.

Формальная постановка задачи шкалирования

Дана симметричная матрица различий между объектами .

Требуется построить пространство возможно меньшей размерности rи найти в нем координаты точек-объектов

так, чтобы матрица расстояний

между ними, вычисленная по введенной на Хметрике, была, в смысле некоторого критерия, близка к исходной матрицеGпопарных различий.

При решении поставленной задачи возможны два подхода: метрический, при котором матрица различийGизначально является искомой матрицей расстоянийD, инеметрический (монотонный, ранговый), ориентированный на сохранение того же порядка попарных расстояний, что и в исходной матрице различий: → .

Неметрический этап

На этом этапе данные о различиях и стандартизированные оценки расстояний из предыдущей итерации используются для вычисления отклонений.

Этап состоит из нескольких шагов.

1. Упорядочить по возрастанию данные о различиях по исходной матрице G. Получившийся порядок пар объектов задает и порядок оценок расстояний или отклонений.

2. Серия проходов: в начале первого прохода на конкретной итерации отклонениями являются текущие оценки расстояний из предыдущей итерации или стартовой конфигурации. В начале каждого последующего прохода на той же итерации отклонения берутся из предыдущего прохода. Проход начинается с разбиения оценок отклонений на блоки равных значений. Пусть m=(1,...,M) будет индексом, обозначающим блоки от самого верхнего (m=1) до самого низкого (m=M). Начиная сm=1, элементыm-го блока сравниваются с элементами (m+1)-го блока. Если элементыm-го блока меньше элементов (m+1)-го блока, необходимо перейти к сравнению двух следующих блоков. Как только элементыm-го блока окажутся больше элементов (m+1)-го блока, то все элементыm-го и (m+1)-го блоков приравниваются среднему арифметическому обоих блоков. Эти два блока объединяют в один, который становится новымm-ым блоком. Затем опять сравниваютm-й и (m+1)-й блоки; проход заканчивается после сравнения всех соседних блоков. Результат прохода – новый набор оценок отклонений. После завершения проходов отклонения будут удовлетворять условию монотонности (12.1). Пример работы алгоритма дается в табл.27.

Таблица 27

№ п/п	Различие	До объединения		После 1-го прохода		После 2-го прохода
		Откло- нение	Блок	Откло-нение	Блок	Откло-нение	Блок
1	2	3	4	5	6	7	8
1	0,19	0,11	1	0,11	1	0,11	1
2	0,22	0,12	2	0,12	2	0,12	2
3	0,23	0,16	3	0,15	3	0,15	3
4	0,25	0,14	4	0,15	3	0,15	3

Продолжение табл.27

№ п/п	Различие	До объединения		После 1-го прохода		После 2-го прохода
		Откло- нение	Блок	Откло-нение	Блок	Откло- нение	Блок
5	0,26	0.21	5	0.21	4	0.21	4
6	0,27	0,23	6	0,23	5	0,23	5
7	0,28	0,25	7	0,25	6	0,24	6
8	0,29	0,23	8	0,23	7	0,24	6
9	0,32	0.27	9	0.27	8	0,27	7

В столбце 3 нет подряд идущих одинаковых чисел, так что каждая строка образует блок. Просматривая этот столбец сверху вниз, обнаруживаем, что в строках 3 и 4 имеет место инверсия (нарушение монотонности –– 0,16>0,14). Блоки 3 и 4 объединяются в один со значением (0,16+0,14)/2=0,15. Просматривая теперь столбец 5, убеждаемся в необходимости слияния блоков 6 и 7. Как видно из 7-го столбца нарушений условия монотонности не осталось, что позволяет считать элементы столбца 7 искомыми отклонениями.

Метрический этап

На этом этапе решают задачу математического программирования, в результате чего получают новые оценки координат, по которым рассчитывают новые оценки расстояний. Исходными данными являются отклонения, рассчитанные на неметрическом этапе, оценки координат и расстояний предыдущей итерации. В качестве целевой функции выступает S₁(12.2).

Минимизация S₁проводится одним из градиентных методов.