24. Ортогональные методы многомерного шкалирования.

В метрическом шкалировании укажем два метода: ординация Орлочи и метод главных проекций Торгерсона.

Ординация Орлочипредставляет собой сравнительно простой геометрический метод. По матрицеGвначале выбирают две наиболее различающиеся (удаленные) точки

(i,j = 1,2,…,N).

Прямая, проходящая через эти две точки, принимается за первую ось. Обозначим ее A₁A₂(рис.15).

Рис.15. Ординация Орлочи

Проекции (координаты) остальных точек на первую ось, как видно из рис. 15, составят .

Строится матрица расстояний по найденным координатам, которая сравнивается с матрицей различий. Если соответствие приемлемое, решение достигнуто; в противном случае необходимо искать вторую ось, проходящую через точку, наиболее удаленную от прямой .Очевидно, это точка, которая доставит максимум,j=3,4,…,N.

Координаты остальных точек – проекции на полученные оси – можно получить геометрическим построением либо аналитически. Однако повышение размерности приводит к сложностям получения оценок. К тому же решение оказывается излишне чувствительным к данным, поскольку оно определяется всего по нескольким точкам.

В методе главных проекций Торгерсона предполагается, что матрица G– матрица евклидовых расстояний между объектами, не содержащая ошибок. По матрицеGнеобходимо определить размерность пространства и проекции точек на его оси. Пусть– расстояния между точкамиi, j, k(рис.16).

Рис. 16. Графическая иллюстрация скалярного произведения

Вычислим симметричную матрицу B_i размерностиN×N с элементамиb_jk , представляющими скалярное произведение векторов с началом в точкеiи концами в точкахj иk:.

Любая из N точек может быть взята в качествеi-й. Таким образом можно получитьN возможных матрицB_i. Согласно теореме Янга-Хаусхолдера:

1. Если какая-либо B_i (i=1,2,…,n) является положительно полуопределенной (ППО), то различия между объектами можно рассматривать как расстояния между точками в вещественном евклидовом пространстве.

2. Ранг любой ППО матрицы соответствует размерности rмножества точек. (Напомним, то ранг ППО матрицы равен числу положительных собственных значений.)

3. Любую ППО матрицу можно факторизовать в виде B_i=XX′. ЭлементыХесть проекции точек-объектов наr ортогональных осей вr-мерном вещественном пространстве с центром в точкеi.

Для того чтобы уменьшить влияние возможных ошибок, начало координат помещают в центр тяжести всех объектов. Тогда координаты искомых (центрированных) точек будут иметь вид:

.

Матрица скалярных произведений новых переменных должна факторизоваться в виде. Подставляя сюда выражение для центрированных переменных и выражая координаты через расстояния можно получить, чтогде.

Легко видеть, что .

Матрицу называют матрицей сдвойным центрированием.Факторизация матрицыпроводится так же, как и в факторном анализе (см. п. 11.2).

25. Неметрическое шкалирование. Схема алгоритма Каскала.

Рассмотрим один из известных алгоритмов неметрического многомерного шкалирования, предложенный Дж. Краскалом. Пусть – оценки координат, гдеi– номер точки;k –номер координаты;– оценка расстояний по-метрике;–ранговые образы расстояний, иначеотклонения. Эти величины должны соответствовать, насколько это возможно, оценкам расстояний, но с сохранением условия монотонности:. (12.1)

Для оценки степени расхождения вводят меру соответствия (S-стресс):

либо , где– среднее арифметическое оцененных расстояний.

Наряду с S-стрессом используетсяSS-стресс, где в числителе оценки расстояний и отклонения заменены их квадратами.SS-стресс обеспечивает более быструю сходимость, если матрица различий симметрична.

Алгоритм Краскала состоит из пяти основных этапов:

1) формирование стартовой конфигурации, то есть получение начальных оценок координат (размерность пространства предполагается известной);

2) стандартизация расстояний и оценок координат;

3) неметрический этап, в ходе которого вычисляются отклонения;

4) метрический этап: перерасчет оценок координат;

5) подсчет меры соответствия.

Если мера улучшилась, то возвращаются к этапу 2; в противном случае работа алгоритма завершается.

Рассмотрим перечисленные этапы подробнее. Стартовая конфигурация строится по методу Торгерсона (ортогональное проектирование). Затем по координатам найденных точек вычисляется матрица расстояний с элементами .

На втором этапе в ходе первой итерации текущие расстояния и координаты – те, которые получены из стартовой конфигурации. Для всех итераций, кроме первой, в качестве текущего расстояния и оценок используются те, что были получены на метрическом этапе предыдущей итерации.

Стандартизация оценок расстояний и координат состоит в делении их на сумму квадратов . Очевидно, подобное преобразование делает сумму квадратов расстояний равной единице, что снижает вероятность получения вырожденного решения и упрощает вычисления, особенно при использованииS₁-стресса, выражение для которого приобретает вид. (12.2)