4 Двойственная задача и двойственная оценка

Одновременно с решением прямой задачи линейного программирования решается двойственная задача. Искомой величиной двойственной задачи является двойственная оценка. Двойственные оценки были открыты Кантаровичем.

Если прямая задача обеспечивает расчёт оптимального плана, то двойственная задача обеспечивает расчёт двойственных оценок.

Алгоритм транспонирования прямой задачи в двойственную:

1. Неизвестными величинами в двойственной задаче является Y (вместо X₁, X₂, …, X_n мы имеем Y₁, Y₂, …, Y_m). Если в прямой задаче было m – количество ограничений, то в двойственной задаче будет m неизвестных величин;

2. Столбцы матрицы прямой задачи становятся строками двойственной задачи;

3. Оценки переменных функции цели С_j становятся свободными членами, а свободные члены B_i – коэффициентами функции цели;

4. Тип ограничения меняется на обратный, т.е. если в прямой задаче тип ограничения был ≥, то в двойственной он меняется на ≤, и наоборот.

5. Если прямая задача решается на максимум функции цели, двойственная задача решается на минимум функции цели, и наоборот.

Задача 5

1. Прямая задача:

X₁ + 4X₂+3X₃→ max

При ограничениях:

2Х₁ + X₂+3Х₃ ≥80

4Х₁ + 2X₂+3Х₃ ≤ 9

Х₁ + 2X₂ - Х₃ ≥70

4Х₁ - 2X₂ + Х₃ ≤ 44

Двойственная задача:

1) Приведем неравенства к одному знаку (≤ ). Для этого 1 и 3 уравнение умножим на (-1)

X₁ + 4X₂+3X₃→ max

-2Х₁ - X₂ - 3Х₃ ≤ -80

4Х₁ + 2X₂+3Х₃ ≤ 9

-Х₁ - 2X₂ + Х₃ ≤ -70

4Х₁ - 2X₂ + Х₃ ≤ 44

2)Затем приводим систему неравенств к канонической форме:

-2Х₁ - X₂ - 3Х₃ + 1Х₄ +0Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ = -80

4Х₁ + 2X₂+3Х₃ + 0Х₄ +1Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ = 9

-Х₁ - 2X₂ + Х₃ + 0Х₄ +0Х₅ + 1Х₆ + 0Х₇ = -70

4Х₁ - 2X₂ + Х₃ + 0Х₄ +0Х₅ + 0Х₆ + 1Х₇ = 44

Х₁ + 4X₂+3Х₃ + 0Х₄ +1Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ → max

3) Теперь заменяем столбцы матрицы прямой задачи на строки двойственной задачи

-80Y₁ + 9Y₂ -70 Y₃ + 44Y₄→ min

-2Y₁ + 4Y₂ - Y₃ + 4Y₄ ≥ 1

-Y₁ + 2Y₂ - 2Y₃ - 2Y₄ ≥ 4

-3Y₁ + 3Y₂ + Y ₃ + Y₄ ≥ 3

Y₁, Y₂ , Y ₃ , Y₄ ≥ 0

Двойственные оценки – значения коэффициентов, которые стоят в последней симплексной таблице в индексной строке.

1. Если переменная вошла в базис, то двойственная оценка равна. Переменная, не вошедшая в базис, имеет двойственную оценку;

2. Двойственная оценка при основных переменных всегда равна 0 или положительная и показывает, на какую величину изменится функция цели, если изменить значение переменной на 1;

3. Положительная двойственная оценка основной переменной показывает уменьшение функционала;

4. Двойственная оценка при дополнительных переменных характеризует ценность ресурса, может быть и положительной и отрицательной. Из двух положительных двойственных оценок дополнительных переменных ценность ресурса выше там, где выше двойственная оценка. Двойственная оценка показывает, как изменится функционал, если ресурс увеличить или уменьшить на единицу.