Анализ решения последней симплексной таблицы.

Заключительным этапом моделирования является экономико-математический анализ. Основывается он на использовании двойственных оценок и коэффициентов последней симплексной таблицы. Анализ проводиться в следующих целях: для определения возможных последствий возможных параметров модели, для оценки устойчивости оптимального плана к изменению отдельных параметров.

В этом анализе различается прямой эффект Ci и косвенный эффект Cj. Ci – оценки целевой функции базисной переменной (по столбцу 1), Cj – оценки целевой функции не базисной переменной с единой эффективностью. Эти оценки являются коэффициентами индексной строки их называют двойственными оценками.

Двойственные оценки имеют только переменные не вошедшие в базисный план. Двойственная оценка при основных переменных показывает на сколько измениться функция цели, если ресурс изменить на единицу. Двойственные оценки при дополнительных переменных характеризуют ценность ресурса.

Помимо прямого и косвенного эффекта имеются ещё коэффициенты замещения или структурных сдвигов по небазисным основным и дополнительным переменным.

При основных не базисных переменных Х2 положительные коэффициенты показывают насколько уменьшиться значение соответствующе по строке базисной переменной(3,2; 1,1; 2,6), а отрицательные (-0,30; -1,4)на сколько оно увеличиться при введении в базис основных не базисных переменных с единой интенсивностью.

Коэффициенты замещения при дополнительных небазисных переменных S₄ показывают, что в случае уменьшения объёма этого ресурса положительные коэффициенты (1) будут означать уменьшение, а отрицательные - увеличение значения базисных переменных.

Если же объём производственного ресурса будет увеличиваться смысл коэффициентов замещения будет обратным.

3. Решение задачи линейного программирования симплексным

методом с искусственным базисом.

Симплексный метод с искусственным базисом

Целевая функция: Х₁ + 10Х₂ – 3Х₃ + 2Х₄→ min

Система ограничений:

• 3Х₁ – 8Х₂ + 3Х₃ + 1Х₄ ≥ 20

• 7Х₁ + 2Х₂ + 1Х₃ – 3Х₄ = 5

• 4Х₁ + 2Х₂ – 1Х₃ + 5Х₄ ≥ 5

• 4Х₁ – 2Х₂ + 0Х₃ + 1Х₄ = 8

1. Приведение неравенств к канонической форме.

К канонической форме система неравенства приводится путем введения дополнительных переменных. Если знак в неравенстве ≥, дополнительная переменная вводится со знаком «–». Изначально дополнительная переменная вводится в правую часть уравнения. После того как все переменные переносятся в левую часть уравнения, а в правой остается свободный член , дополнительная переменная S₁ получается со знаком «–». То же происходит и с дополнительной переменной S₂.

• 3Х₁ – 8Х₂ + 3Х₃ + 1Х₄ - S₁ =20

• 7Х₁ + 2Х₂ + 1Х₃ – 3Х₄ = 5

• 4Х₁ + 2Х₂ – 1Х₃ + 5Х₄ - S₂= 5

• 4Х₁ – 2Х₂ + 0Х₃ + 1Х₄ = 8

• Х₁ + 10Х₂ – 3Х₃ + 2Х₄ – 0S₁ – 0S₂ → min

2. Нахождение первого опорного (базисного) плана

Составляем первую симплексную таблицу, она соответствует первому базисному плану, полученному непосредственно из канонической формы записи задачи. Однако, для данного примера, опорный базисный план обычным способом построить невозможно, так как в этом случае не соблюдается условие не отрицательности переменных.

Для решения задач, имеющих отрицательные дополнительные переменные, применяется метод искусственного базиса (М-метод).

В уравнения с отрицательными дополнительными переменными вводится искусственная переменная Y с коэффициентом = 1 и оценкой «+М» при решении задач на min. M – положительное число, сколь угодно большее самого великого коэффициента целевой функции.

• 3Х₁ – 8Х₂ + 3Х₃ + 1Х₄ - S₁+Y₁=20

• 7Х₁ + 2Х₂ + 1Х₃ – 3Х₄ +Y₂= 5

• 4Х₁ + 2Х₂ – 1Х₃ + 5Х₄ - S₂+Y₃= 5

• 4Х₁ – 2Х₂ + 0Х₃ + 1Х₄ +Y₄= 8

• Х₁ + 10Х₂ – 3Х₃ + 2Х₄ – 0S₁ – 0S₂ +МY₁+МY₂+МY₃+МY₄→ min

Таблица 3 – Первая симплексная таблица

правая часть (базис)			левая часть
оценка	базисный план	значение базисной переменной	не базисные переменные													симплексное отношение
			основные					Дополни-тельные			искусственные
			Х1	Х2	Х3	Х4	S1		S2	Y1		Y2	Y3	Y4
+ M	Y1	20	3	-8	3	1	-1		0	-1		0	0	0	6,67
+ M	Y2	5	7	2	1	5	0		0	0		-1	0	0	0,7
+ M	Y3	5	4	2	-1	5	0		-1	0		0	-1	0	1,25
+ M	Y4	8	4	-2	0	1	0		0	0		0	0	-1	2,00
(m+1)	Z-Cj	0	-1	-10	3	-2	0		0	-1M		-1M	-1M	-1M
(m+2)			+18M	-6M	+3M	+12M	-1M		-1M	-1M		-1M	-1M	-1M
[(m+1)+(m+2)]			179	-70	33	118	-10		-10	-20		-20	-20	-20

Таблица 4 – Вторая симплексная таблица

правая часть (базис)			левая часть
оценка	базисный план	значение базисной переменной	не базисные переменные													симплексное отношение
			основные					Дополни-тельные			искусственные
			Х1	Х2	Х3	Х4	S1		S2	Y1		Y2	Y3	Y4
+ M	Y1	17,8	0	-8,8	2,6	-1,1	-1		0	-1		0	0	0	6,8
+ 1	Х1	0,7	1	0,3	0,1	0,7	0		0	0		-1	0	0	7
+ M	Y3	2,2	0	0,9	-1,6	2,2	0		-1	0		0	-1	0	-1,4
+ M	Y4	5,2	0	-3,1	-0,6	-1,8	0		0	0		0	0	-1	-8,7
(m+1)	Z-Cj	0,	0	-10,3	3,1	-1,3	0		0	-1M		-1M	-1M	-1M
(m+2)			0	-11M	+0,4M	-0,7M	-1M		-1M	-1M		-1M	-1M	-1M
[(m+1)+(m+2)]			0	-120,3	7,1	-9,3	-10		-10	-20		-20	-20	-20

Таблица 5 –Третья симплексная таблица

правая часть (базис)				левая часть
оценка	базисный	значение базисной переменной	не базисные переменные																					симплексное отношение
	план		основные								Дополни-тельные					искусственные
			Х1		Х2		Х3		Х4		S1		S2		Y1		Y2		Y3		Y4
-3,1	Х3	6,8	0,0		-3,4		1,0		-0,4		-0,4		0,0		-1		-		-		0,0
1,0	Х1	0,0	1,0		0,6		0,0		0,7		0,0		0,0		0		-		-		0
+ M	Y3	13,2	0,0		-4,5		0,0		1,5		-0,6		-1,0		0		-		-		0
+ M	Y4	9,3	0,0		-5,1		0,0		-2,1		-0,2		0,0		0		-		-		-1
(m+1)	Z-Cj	0,0	0,0		0,2		0,0		0,0		1,2		0,0		-1M		-		-		-1M
(m+2)			0,0		"-9,6М		0,0		"-0,5М		"-1,М		-1M		-1M		-		-		-1M
[(m+1)+(m+2)]						-95,8		0,0		-50,0		-10,0		-10,0		-20,0		-		-		-20

Вывод: Решение данных уравнений симплексным методом не возможно, так как невозможно найти главный столбец.