29. Управляющий граф алгоритма.

Для автоматического анализа вычислительной и емкостной сложности, выполняющего оптимизирующие преобразования и проверки правильности трансляции алгоритма, написанного на языке высокого уровня, необходимо иметь математическую модель алгоритма.

Со структурной и процедурной точки зрения алгоритм – это совокупность операций, выполняемых в заданной или вычисляемой последовательности и обрабатывающих набор структурированных данных.

Таким образом, компонентами структуры алгоритма являются операции преобразования данных и операции управления, а также связи между ними.

Для выполнения потокового анализа алгоритма необходимо знать порядок выполнения операторов, т.е. в отношении оператор-оператор существует свойство преемник-предшественник.

Ко второй группе компонентов алгоритма, отражающей процедурный подход, относятся данные допустимых входов и результатов, а также связи, данные операций и наоборот.

Оценка вычислительной и емкостной сложности требует информации о:

1. Видах операций, их вычислительной сложности в функции от базисных и количестве повторений этих операций.

2. Характеристиках входа задачи, промежуточных и окончательных данных и типов структур данных, определяющих вычислительную сложность базовых операций над ними.

Для оценки количества операций и вычислительной сложности алгоритма необходимы также сведения об управляющих связях между операциями, вероятностях передачи управления и размерности обрабатываемых данных.

Таким образом в математической модели алгоритма должны быть отражены следующие его компоненты, связи между ними, а также характеристики компонентов и свойства связей:

1. Операторы преобразования данных, их типы, реализуемые ф-ции, вычислительная сложность их реализации.

2. Операторы вычисления условий, предикаты, реализующие проверку условий и вычислительная сложность этой проверки.

3. Управляющие связи между операциями с учетом отношений следования, а для альтернативных передач управления - соответствующие им значения предшествующих условий и вероятности реализации этих передач.

4. Исходные, промежуточные и окончательные данные, их вид, размерности и если заданы - их структуры, т.е. организация этих данных.

5. Связи «данные-операторы» и наоборот, их типы, определяющие вычислительную сложность чтения/записи данных для заданных структур.

6. связи «данные-данные», позволяющие решать вопрос об их независимости. Это важно для выполнения оптимизирующих преобразований и др.

Модель класса алгоритмов в виде управляющего графа.

Такая модель должна отражать события (операции) обработки данных, связи между этими событиями, типы операторов обработки данных и, если известно – их вычислительную сложность. В данной модели не отражены конкретные наборы данных, функциональная зависимость, а так же предикаты, реализующие проверку условий. Модель несет информацию необходимую для изучения св-в определенного класса алгоритмов. Рассмотрим переход к управляющему графу алгоритма на примере 2-х подпрограмм: вычисление кол-ва букв «а», определения min элемента одномерного массива.

Кроме структуры алгоритма класс определяет базис В. В={ Dв, Fв, Рв, Ов} Dв – символы переменных обл-ти определения класса алгоритма. Fв – символы ф-ций (в т.ч. логических), Рв – символы предикатов, реализующие проверку условий. Ов - символы операторов.

Управляющим называется граф с двумя выделенными вершинами p₀ и q₀. Управляющий граф называется правильным, если любая его вершина принадлежит пути из p₀ в q₀.

Переход от алгоритма к управляющему графу выполняется следующим образом:

1. Множеству операторов О поставим в соответствие множество Х, О<->X.

2. Тип t или вычислительную сложность оператора отобразим в модели, задав однозначное отображение R₁ множества Х на множество Т : XR₁T, t Т

3. Символы множеств Fв и Рв отобразим в модели, задав однозначные отображения мн-ва Х’ вершин обработки данных и Х’’ вершин вычисления условий и передачи управления.

Х’<-> O’: Х’R2 Fв

Х’’<->O’’: Х’’R3 Pв

4. Управляющие связи С между операторами o_i и o_j, т.е. с_к(o_i, o_j) С с учетом отношения следования поставим во взаимно однозначное соответствие дугам Uк(x_i, x_j), т.е. с_к(o_i, o_j) Uк(x_i, x_j)

Uк(x_i, x_j) U Uк(x_j, x_i) U

Множество дуг U распадается на два подм-ва: U’ –альтернативная передача управления и U’’ – безусловная передача управления. U= U’ U’’, U’ U’’= .

5. Мн-ву дуг U’ присвоим веса из мн-ва L={true, false}и мн-ва Е –вероятностей этих передач управления

U’Q2E

U’Q1L .

Т.о. мы получили модель класса алгоритмов с взвешенными вершинами и частично взвешенными ребрами. Gy{<X,<T, Fв, Pв> >, <U’<L,E>>, U’’}