Решение иу Фредгольма для случая собственному значению (решение Шмидта).

Рассмотрим ИУ вида: (1). Введем обозначения: (2). Если предположить, что существует непрерывная функция решение уравнения (1), тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Гильберта-Шмидта , т.е функция представима через ядро ИУ. Согласно, теоремы Гильберта-Шмидта представляя ряд абсолютно равномерного сходящегося: , где - собственные функции ядра ИУ. По первому следствию теоремы Гильберта-Шмидта ( ): , (3). Уравнение (1) домножим и проинтегрируем по : (4), выражение (4) примет вид: . (5), если (собственное значение), тогда , найденное значение подставим в (3): ( ). Подставляя вместо во (2) получим решение ИУ: (6). Получим связь решения Шмидта с решением Фредгольма: (7). Выражение в это резольвента ядра: . Решение в виде (7) предпочитается для решения Фредгольма тем, что определены главные члены разложения во всех особых точках резольвенты. Покажем сходимость ряда в (6): = . По теореме Гильберта-Шмидта ряд абсолютно и равномерно сходится. Если число собственных значений ядра бесконечный, то при , тогда , суммируем выше сказанное и делаем выводы, что ряд в (6) сходится.

Решение ИУ Фредгольма при =собственному значению.

(1). Введем обозначения: (2). Если предположить, что существует непрерывная функция решение уравнения (1), тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Гильберта-Шмидта , т.е функция представима через ядро ИУ. Согласно, теоремы Гильберта-Шмидта : (Если функция может быть представлена в форме: , где является непрерывной функцией на промежутке , то функция может быть представлена в виде ряда по собственным функциям ядра абсолютно и равномерно сходящейся: ) представляя ряд абсолютно равномерного сходящегося: , где - собственные функции ядра ИУ. По первому следствию теоремы Гильберта-Шмидта ( ): , (3). Уравнение (1) домножим и проинтегрируем по : (4), выражение (4) примет вид: . (5). Предположим, что является собственным значением ИУ ранга и ему соответствуют собственные функции ,…, . При , левая часть формулы (5) равна нулю, тогда получаем, что: (6). Для того чтобы существовало решение ИУ Фредгольма при = собственному значению необходимо выполнение условий ортогональности (6). Из формулы (5) в случае , следует, что коэффициенты ряда входящего в решение, становятся неопределенными, эти коэффициенты задаются произвольными в решение ИУ. Окончательный вид решений следующий:

(7). Покажем, что решение определенное формулой (7) действительно удовлетворяет уравнению (1). Введем обозначения: . Причем удовлетворяет однородному уравнению (1), так как представляет собой линейную комбинацию собственных функций, которые являются так же собственной функцией. подставим в неоднородное уравнение (1): [ ] (8), / по следствию 2 из теоремы Гильберта-Шмидта (Если функция непрерывна на отрезке , тогда: , причем ряд абсолютно и равномерно сходится.) . / поменяем местами интегрирование и суммирование ( )/ = . Подставим последние два выражения в (8). Затем собирая все ряды в один ряд вынося за скобку получим: ; […]=0, тем самым показали, что решение определенное формулой (7) действительно является решением уравнения (1) при = собственному значению.