Собственные значения и собственные функции итерированных ядер.

Рассмотрим однородные ИУ с собственными значениями : (1). Умножим (1) на ядро и проинтегрируем по : . (2). В выражение (2) заменим и домножим на и интегрируем по :

, таким образом, собственными функциями итерированных ядер будут собственные функции исходного ядра ИУ, а собственными значениями будут ые степени собственных значений ядра .

Теорема Гильберта-Шмидта.

Решение ИУ с симметричными ядрами основано на использование теоремы Гильберта – Шмидта, Стеклова (метод раздельных переменных для уравнений частных производных) так же легко доказывается с помощью теоремы Гильберта – Шмидта.

Теорема: Если функция может быть представлена в форме:

(1), где является непрерывной функцией на промежутке , то функция может быть представлена в виде ряда по собственным функциям ядра абсолютно и равномерно сходящейся: (2).

Замечание: функции, которые могут быть представлены выражением (1) называются представимыми через ядро ИУ.

Доказательство: (часть 1: доказательство абсолютной равномерной сходимости). Введем обозначение частичных сумм ряда (2):

(3). Из общего принципа сходимости рядов следует: ряд (2) сходится абсолютно и равномерно, если для любых сколь угодно малого найдется такое значение , зависящее от но, не от , что , как только ля любых значений . Выражение (1) домножим на собственную функцию и проинтегрируем по : / / , подставим найденное значение в (3): (4). Из выражения (4) следует очевидное неравенство: (5). Применим неравенство Коши – Буняковского: , правой части неравенства:

(6). Последняя сумма в правой части (6) представляет собой сумму квадратов коэффициентов разложения ядра ИУ по собственным функциям , и согласно неравенству Бесселя запишем:

. Первая сумма в правой части выражения (6) так же представляет собой сумму квадратов коэффициентов разложения в ряд по собственным функциям и по неравенству Бесселя:

, функция непрерывна на промежутке , следовательно, интеграл от квадрата этой функции ограничен в некотором значении и зависит от , т.е: , тем самым сходимость доказана.

(часть 2: суммирование). Покажем, что разложение (2) единственно. Введем в обозначение функцию: (7), функция - непрерывна, так как непрерывна функция . Ряд (2) так же является непрерывной функцией, следовательно, функция является непрерывной функцией. Если удастся показать, что , то и выражение (2) будет единственно. Умножим (7) на и проинтегрируем по : , умножим (7) на и проинтегрируем по :

, учитывая этот результат получаем: (8). Подставим вместо функции , ее представление по формуле (1) получим: . Интеграл по переменой равен нулю, так как ядро ИУ может быть представлено билинейной формой определяемой собственными фун-кциями, а функция ортогональна всем собственным функциям. Следовательно, она ортогональна и ядру ИУ, тогда .

Следствия:

1. ;

2. Если функция непрерывна на отрезке , тогда: , причем ряд абсолютно и равномерно сходится.

3. Если и непрерывные функции на , то справедлива формула Гильберта: .