Ортогональность собственных функций симметричного ядра.
Каждому собственному значению соответствует, по крайней мере, одна функция. Число собственных функций соответствующих одному собственному значению определяется рангом этого собственного значения.
Теорема. Собственные функции соответствующие двум разным собственным значения, ортогональны.
Доказательство:
ортогональность функции означает, что
интеграл от произведения этих функций
на промежутке ортогональности
.
Пусть
и
два собственных значения, которым
соответствуют собственные функции
и
,
.
Известно, что собственные функции
являются решением однородного уравнения:
,
домножим на
и проинтегрируем по
.
/
т.к ядро симметричное, то можно поменять
местами переменные и из уравнения
,
,
что интеграл в […] =
/
,
,
.
Каждому собственному значению симметричного ядра ранга соответствует система линейно независимых ортогональных ненор-мированных собственных функций числом равный . Совокупность всех ортогональных и нормированных собственных функций соответствующих всем собственным значениям симметричного ядра называется полной ортогональной системой собственной функции.
Процесс ортогонализации Шмидта.
Пусть некоторому
собственному значению ранга
принадлежит
линейно независимых собственных функций:
,…,
,
.
Любая линейная комбинация этих собственных
функций также является собственной
функцией.
(1). Подберем
коэффициенты в формуле (1) таким образом
чтобы выполнялись свойства нормировки
и ортогональности т.е:
,
если
- условие нормировки. Процесс
нахождения коэффициентов в формуле (1)
называется процессом
ортогонализации Шмидта.
Он состоит из
шагов:
1 шаг:
.
Потребуем выполнение условия нормировки:
,
.
2шаг:
(2). Скалярным произведением двух функций
и
будем называть интеграл от произведения
этих функций.
.
Выражение (2) умножим на
и проинтегрируем по
.
,
т.к функции ортогональны
,
,
подставим в (2) получим
,
коэффициент
найдем из условия нормировки:
.
3шаг:
.
Применяем свойства ортогональности и
нормировки.
,
.
Выражая
и
через
и применяя условия нормировки, получим:
.
Выполнив последовательно
шагов, получим ортогональную систему
собственной функции для данного
собственного значения ранга
.
Процедуру ортогонализации необходимо
выполнить для всех собственных значений
симметричного ядра, чтобы получить
полную ортонормальную систему собственной
функции. Разложение
произвольной функции в ряд по собственным
функциям полной ортонормальной системы.
Дана функция
,
непрерывная в промежутке
ее можно разложить в сходящейся ряд
полной ортогональной системы (сходящейся
ряд):
(1). Умножим выражение (1) на
и проинтегрируем по
.
Согласно свойствам
ортогональности и нормировки получим:
(2). Выражение (2) является формулой для
коэффициентов разложения.
Разложение ядра ИУ в ряд по собственным функциям полной ортонормальной системы.
Рассмотрим ядро
и переменную
зафиксируем, тогда функцию
можно представлять функцией одной
переменой
определенной на промежутке
.
Разложим функцию
по собственным функциям ядра
,
т.е:
(1). Умножим (1) на
и проинтегрируем по
на промежутке
:
.
По свойству ортогональности собственной
функции правая часть уравнения
;
.
Подставляя
в (1) получим:
(2). Выражение (2)
называется билинейной формой ядра ИУ.
Теорема: Ядро ИУ в случае бесконечного числа собственных функций может быть представлено в виде сходящегося ряда по этим собственным функциям.
Замечание: Если число собственных функций, конечно, то вопрос о сходимости ряда не ставиться.
Доказательство:
введем в рассмотрение функцию:
-
И рассмотрим
однородное ИУ с ядром
.
Предположим, что у этого ИУ есть хотя
бы одно собственное значение, назовем
его
,
тогда:
.
Последнее выражение домножим на
собственную функцию
и проинтегрируем по
,
получим:
.
Это означает либо функция
является собственной функцией ядра
(т.к она ортогональна всем функциям) , в
других собственных функций
у ядра
быть не может. Полная система ортогональной
функции тогда
,
что и собственных значений
быть не может и наконец
.