Ранг собственного значения.

РСЗ будем называть кратность корня уравнения: .

Рангу собственного значения соответствует число, линейно независимых собственных функций.

Теорема 7. Ранг собственного значения ИУ конечен.

Доказательство. Предположим, что некоторому собственному значению

ранга , соответствует линейно независимых собственных функций, … которое является решением однородного ИУ , . Разделим на : (5). Левая часть выражения (5) представляет собой коэффициенты разложения в ряд Фурье функции по переменой . Для коэффициентов разложения в ряд Фурье справедливо неравенству Бесселя. Предположим, что функции ортогональны и нормированы: , если .

, если . Замечание: любую систему линейно независимых функций можно ортогонализировать – процесс ортогонализации Шмидта.

Запишем неравенство Бесселя: (6). Неравенство (6) проинтегрируем по переменой : , , ранг собственного значения конечен.

Теорема 8: Если равно собственному значению и выполняется условие ортогональности (4), то неоднородное ИУ имеет бесконечное число решений.

Доказательство: решение уравнения в этом случае имеет вид: , где - собственные функции соответствующие собственному значению ранга , - неопределенные константы, - некоторые частные решения неоднородного уравнения.

Теория Гильберта-Шмидта. Иу с симметричными ядрами.

Комплексное ядро называется симметричным, если выполняется тождество: .

Замечание: Для вещественных ядер это означает равенство союзных ядер.

Не каждое ядро ИУ имеет собственные значения. Например: полярное ядро (теория потенциалов) , где - расстояние от до .

, , также не имеет собственное значение.

Теорема 1. Все собственные значения симметричного ядра вещественны.

Доказательство: Рассмотрим однородное уравнение: , домножим его на и проинтегрируем по : / т.к ядро симметрично/

/ / .

Теорема 2. (о существование собственного значения). Каждое симметричное ядро, по крайней мере, одно собственное значение.

Доказательство: Из теории Фредгольма известно, что решение неоднородного ИУ дается формулой: (1).

по крайней мере, в некотором круге значения , где может быть расстоянием до первого полюса резольвенты, тогда в этом круге значения , резольвенту можно представить сходящейся степенным рядом:

(2), где - коэффициенты разложения, с другой стороны резольвента, получается, по методу последовательных приближений (3), где - итерированные ядра. Этот ряд сходиться для значений . Выберем , тогда в круге значения . Ряды (2) и (3) в этом круге значений должны совпадать, т.е: . Заменим в формуле (2) на , применим и проинтегрируем: . Учитывая, что интеграл от числителя Фредгольма: и обозначаем получим: (4). Если удаться показать, что ряд (4) или связанный с ним ряд сходится не при всех значениях , это и будет означать, что симметричное ядро имеет собственное значение, иначе этот ряд должен сходится при всех значениях , сходимость ряда по четным степеням (5). . Рассмотрим две леммы для доказательства:

Лемма 1. Все итерированные ядра симметричного ядра симметричны: .

Доказательство: Итерированное ядро

. Рассмотрим энное итерированное ядро (аргументы переставим местами): /поменяем переменные интегрирования / следовательно, доказали симмет-ричность ядер.

Лемма 2. Если суммарное ядро ИУ отлично от тождественного нуля, то и все итерируемые ядра будут не нулевыми.

Доказательство: Предположим, что ядро , причем наименьший индекс нулевых итерированных ядер, т.е : ,… , число или , четное: итерированное ядро

следовательно, для любых значений и ядро , следовательно минимальный индекс нулевого итерированного ядра не , а , , что противоречит предположению, следовательно все итерированные ядра отличны от нуля.

Вычислим : (6). К выражению (6) применим неравенство Шварца: . ,

(7), где , , т.к числа , , положительные, то можно поделить на знак не поменяется: (8). Введем обозначения: ряд по четным степеням (9). Найдем радиус сходимости ряда (9). Рассмотрим отношения последнего ряда к предыдущему: /учитывая цепь неравенства (8)/ . Из последнего неравенства ,что если , то , т.е последний член ряда больше предыдущего, т.е при этих значениях ряд расходится. При этом существуют такие значения, которые ограничивают область сходимости разложения резольвенты в ряд по степеням , откуда следует существование особых точек, по крайней мере, одной для резольвенты.