И знаменателя Фредгольма.

2; - ля знаменателя Фредгольма. .

Связь между числителем и знаменателем Фредгольма.

В формуле 22(1) примем и проинтегрируем по . (А). Знаменатель Фредгольма определяемый (2) продифференцируем по , получим: (В). Сравнивая (А) и (В) получаем: - (6). Получили числитель и знаменатель Фредгольма в виде целых относительно функций: (7). Выражение (7) справедливо для значения ,

. (8). Для оценки сходимости ряда (1) воспользуемся оценкой Адамара, которую искали для знаменателя Фредгольма тогда: ряд (1) будет сходиться аналогично ряду для знаменателя Фредгольма при любых значениях . Согласно основному принципу аналитического …….функции, если две целые функции совпадают в некотором круге комплексных значений , то они будут совпадать по всей комплексной плоскости. те уравнения для резольвенты которые были получены ранее справедливы для любых значений .

Теоремы Фредгольма.

Теорема 1. Если не является корнем уравнения , то ИУ Фредгольма имеет решение для любых функций и это решение определяется формулой: , где резольвента по Фредгольму: .

Доказательство: Аналогично доказательству Th о существование и единственности решения ИУ.

Теорема 2. Корни уравнения (нули знаменателя Фредгольма) являются полюсами резольвенты.

Доказательство: Предположим, что , это 0 знаменателя Фредгольма порядка , т.е , где , кроме этого пусть является нулем для числителя порядка , т.е , т.е любой корень уравнения является полюсом резольвенты.

Теорема 3. Решение однородного ИУ при одному из корней уравнений нетривиально.

Доказательство. Т.к ноль знаменателя Фредгольма является полисом резольвенты, то резольвенту можно представить в виде ряда Лорана в окружности этой особой точки. . Подставим это выражение в одно из уравнений резольвенты:

, умножив это уравнение на и принимая получаем: (*). Уравнение (*) является однородным ИУ для функции по какой-то одной из переменой. Функция не может быть , иначе резольвента в точке имеет порядок полюса, по крайней мере, на единицу меньше.

Теорема 4. Нули знаменателя Фредгольма или кори уравнения являются собственными значениями ИУ.

Союзная иу.

СИУ называется уравнения следующего вида:

(1), союзное ядро . Очевидно, что знаменатель Фредгольма для союзного уравнения будет тем же самым, что и для исходного ИУ, а числитель Фредгольма: . Рассмотрим теоремы Фредгольма для случая собственному значению ИУ. Запишем ИУ Фредгольма: (2).

Теорема 5. Если является собственным значением ИУ, то неоднородное уравнение (2) разрешимо только в случае ортогональности функции и любого решения однородного союзного уравнения при этом значение .

Доказательство. Пусть функция решение союзного однородного уравнения для собственному значению. Домножим уравнение (2) на и проинтегрируем по . (3). Функция является решением однородного уравнения […] в уравнение (3) будет . (4). Выражение (4) означает ортогональность функции и .

Теорема 6. (альтернатива Фредгольма). Имеются две возможности или неоднородные ИУ разрешимые для любой функции , а соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение или однородное ИУ имеет не тривиальное решение, а не однородное уравнение разрешимо не при всех функциях .