Классификация интегральных уравнений.
.
Линейным ИУ называются уравнения, в которой искомая функция входит линейная.
(1) – ИУ Фредгольма
2-го рода.
(2) - ИУ Фредгольма
1-го рода.
Если
,
то уравнение называется однородным и
наоборот
то уравнение неоднородное.
- искомая функция,
- численный параметр,
-
заданная функция, называется ядром ИУ,
- заданная функция.
На функции и накладываются ограничения
,
;
(3),
Ядро ИУ удовлетворяющие условию (3) называется Фредгольма
Уравнение вида:
(4) – называется
уравнение
Вольтерра
(это частный случай ИУ Фредгольма). Если
ядра ИУ (4) доопределить
, то можно написать в место уравнения
(4), уравнение Фредгольма
.
Решение уравнения Вольтерра проще чем
уравнение Фредгольма. Нелинейные
уравнения Вольтерра.
.
Задачи приводящие к иу.
При решение задач
Неймана и Дирихле на плоскости методом
потенциала необходимо решать ИУ
Фредгольма для плотности (
)
заряда. Другим примером является задача
обращения:
,
- функция не известная.
,
формулы
обращения Фурье
.
Связь задачи Коши для обыкновенного ДУ с ИУ Вольтера.
Рассмотрим линейное
ДУ n
– го порядка:
(1)
Начальные условия
,
,
… ,
(2). Линейное обыкновенное ДУ (1) с начальными
условиями (2) может быть сведено к линейным
ИУ Вольтерра с помощью замены:
для простоты выводов положим
,
получим:
.
,
.
интегрируем:
+
,
использовалась формула n-кратного
интеграла
.
Подставим найденное выражение в исходное
интегральное выражение (1).
.
(3) – является ИУ
Вальтера 2 – го рода и ~ задачи Коши для
уравнение (1) с начальными условиями
(2).
Если в уравнение
(1) коэффициенты
постоянны, то ИУ будут с ядром типа
свертки
.
Задача Абеля.
ИУ Абеля называется ИУ Вольтера вида:
.
К ИУ Абеля приводит задача о брахистохроне.
Суть задачи:
материальная точка движется в вертикальной
плоскости
под действием силы тяжести по некоторой
кривой без трения. Найти вид этой кривой,
если точка начинает движение при
и за определенное время
достигает свое min
значения (касается оси
)
начиная
Скорость
точки =0,
,
.
Рассмотрим проекцию
скорости на ось
:
,
т.к. координаты
изменяются. Введем угол
:
.
,
,
,
,
получение ИУ Абеля
.
.
Пусть удалось найти решение уравнения
Абеля
,
и явно удалось выразить
,
- параметрическая
формула записи кривой.
Задача Штурма - Ляувилля и ИУ Фредгольма.
Рассмотрим задачу
Ш-Л:
-
задача на собственное значение, т.е. тех
значений
при которых существует нетривиальные
решения.
Пусть известна
функция Грина:
дифференциального
оператора
с соответствующими граничными условиями
по 1-ой теореме Гильберта, решение
уравнения (1) представляется интеграл
вида:
(2)
Выражение (2) можно
расписать, как ИУ Фредгольма с ядром
.
Решение Фредгольма с вырожденным ядром.
(1).
Ядро ИУ
называется
вырожденным,
если может быть представлена в виде
конечной суммы произведений функций
одна из которых зависит от t,
а другая от
S.
(2), причем функция
линейно независимые и функция
также линейно независимые, иначе
количество слагаемых в сумме можно
уменьшить.
Подставим (2) в ИУ
(1):
(3), введем обозначения:
,
уравнение (3) может быть в виде:
(4). Таким образом, для нахождения решения
ИУ (1) с вырожденным ядром необходимо
найти
.
В уравнение (4) поменяем индекс суммирования
с
на
,
домножим на
и
проинтегрируем в пределах от
до
по переменой
.
,
с учетом принятых обозначений:
(5). Выражение (5) в
развернутом виде для всех значениях
является системой линейных алгебраических
уравнений относительно
.
(СЛАУ). Система (5) имеет решение для любых
функций
,
если определитель
.
Если
,
то система (5) ЛАУ для любых функций
имеет решение. Определитель
назовем знаменателем
Фредгольма
.
он для вырожденных ядер ИУ является
полиномом относительно
порядка не выше
,
- число слагаемых в вырожденном ядре
ИУ.
Метод последовательных приближений решений ИУ Фредгольма.
(1). Решение уравнения
(1) найдем в виде степенного ряда
относительно
.
(2). Функции
являются коэффициентами
ряда (2)
найдем, подставив решение (2) в уравнение
(1) и прировняв слагаемые при одинаковых
степенях
.
,
,
,…
.
Ряд (2) сходится не при всех значениях
,
т.к функции
,
непрерывны
,
то их можно ограничивать некоторыми
значениями:
,
,
тогда
,
,
,
тогда
член ряда (2) .
вытекает
условие сходимости ряда (2):
(3).
Т.е решение Неймана
существенно, ограничено значением
.
Фредгольм получил решение, которое
справедливо для любых значений
.
Введем новое обозначения повторные или
интегрированные ядра с помощью
рекуррентных формул:
,
,
т.е
,
.
Интегрированные ядра можно оценить,
используя условие
.
,
рассмотрим степенной ряд по
:
(4). Функция
называется резольвентой
ИУ или
разрешающим
ядром ИУ
.
-
итерированные повторные ядра. Выразим
функции
через заданную функцию
.
Т.к
,
,
.
.
Подставим найденные функции
в ряд :
.
(5)-дает решение уравнения Фредгольма
через резольвенту
и называется резольвента.
Причем (5) справедливо для любых значений за исключением некоторых изомерных особых точек являющихся полюсами резольвенты. Для резольвенты справедливы следующие два уравнения:
1.
(6).
2
(6).
Не смотря на то, что резольвента была
получена методом последующего приближений
.
Уравнения (6) справедливы для любых
значений
,
при условии существования самой
резольвенты.
Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма.
Предположим, что для некоторого интегрального уравнения существует резольвента, удовлетворяющая уравнениям (6) справедлива следующая теорема:
Решение интегрального
уравнения Фредгольма существует и
единственно, если существует резольвента
и выполняется условие (6).
При этом решение
определяется формулой (5).
(1).
Уравнение (1) домножим
и
проинтегрируем по
.
.
.
получили формулу
(5). Тем самым существования решения
интегрального уравнения доказано.
Докажем единственность решения, для
этого решение согласно (5) подставим в
само интегральное уравнение:
;
,
сделаем замену
в третьем интеграле:
.
Выражение в […]=0, согласно одному их
уравнения (6) для резольвенты. Единственность
решения ИУ доказано.
Решение Фредгольма.
Знаменатель Фредгольма.
Фредгольм предположил, что резольвента представляет собой отношения 2-х целых относительно функций, каждой из которых представляет сходящейся степенной ряд по степени .
(1). Разобьем
промежуток интегрирования на
частей с шагом
,
заменим интеграл частичной суммой:
,
где
,
затем в место переменой
рассмотрим
с тем же самым шагом
,
т.е
окончательно примет вид:
(2), где
,
.
Уравнение (2) – система линейных
алгебраических уравнений относительно
.
Согласно теории решения таких уравнений
зависит от определителя системы:
(3). Определитель
(3), разложен по известной из линейной
алгебры формулы.
(4)
(сумма Римана)
.
.
Введем обозначения:
последняя сумма в (4):
.
В предельном переходе
(5), где
-
коэффициент ряда.
;
;
.
Функция
полученная в результате предельного
перехода и определителя Крамара
естественно назвать – знаменателем
резольвенты.
Для оценки сходимости ряда (5) воспользуемся
оценкой Адамара для определителей:
;
,
члены ряда (5) ограничены значениями:
,
ряд (5) сходится при всех значениях
.
Числитель Фредгольма.
Можно получить, умножая ряд по итерированным ядрам для резольвенты:
,
затем приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях
,
можно получить коэффициенты для числителя
Фредгольма.
Введем обозначения:
(1).
-
числитель
Фредгольма
. Знакопеременный ряд, где
коэффициенты этого ряда являются
функциями от переменных
и
.
В отличии от коэффициентов знаменателя:
(2). Коэффициенты ряда (1) найдем из
уравнения для резольвенты предварительно
домножим на знаменатель
.
;
(3). Подставляя в уравнение (3) ряды (1),(2)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
,
получим:
(4) – определение
коэффициента для числителя Фредгольма.
Пример:
:
;
:
/объединяя
эти интегралы, увидим/
.
:
.
(5).
Вычислить коэффициенты использовать
формулу (5) сложно
лучше использовать (4), но для этого нужно
получить более простую формулу для
вычисления коэффициентов знаменателя
Фредгольма. В формуле (5) положим
и проинтегрируем по
.
- коэффициенты ряда знаменателя
Фредгольма.
Рекуррентные формулы для коэффициентов числителя