Функция влияния мгновенного сферического источника тепла.
Эта функция позволяет решать следующую задачу Коши:
,
,
.
Предположим, что в начальный момент
времени на сферической поверхности
радиуса
мгновенно
выделилось
равномерно распределенных единиц тепла.
Найдем распределение температуры,
обусловленное действием такого
сферического источника. Рассмотрим
участок площадью равный
.
.
Этому элементарному участку в пространстве
будет соответствовать точечный источник
тепла. Очевидно, что температурное поле,
обусловленное действием всех таких
точечных источников, определяется
интегралом по поверхности сферы.
/
в силу сферической симметрии задачи
решение не зависит от угловых
координатах./
/
/
/
/
(
-
).
Введем обозначение
,
.
( - ). Решение задачи Коши дается интеграл:
.
Частный случай:
.
.
Задача о фазовом переходе (задача Стефана)
С изменением температуры тела возможно изменение его агрегатного состояния так при переходе через точку плавления происходит переход из жидкой фазы в твердую или наоборот. (т.е процесс кристаллизации в плавление). Эти фазовые перехода называют фазовыми переходами первого рода. Фазовые переходы второго рода связаны на пример с изменением вида кристаллической решетки. На поверхности раздела фаз температура всегда остается не изменой. При движение межфазовой поверхности происходит выделения или поглощения тепла.
Найдем дополнительные
условия для уравнения теплопроводности,
задаваемые на поверхности раздела фаз.
Предположим, что поверхность раздела
фаз это плоскость =
.
В этом случае задача формируется как
одномерная. Пусть за время
поверхность раздела фаз перемещается
с координатой:
,
.
За этот же момент времени кристаллизация
масса жидкости
и выделяется тепло
,
где
- теплота плавления (или скрытая теплота
фазового перехода) чтобы выполнилось
балансовое соотношение по теплу разность
потоков тепла переходящих через группы
и
.
(
-
)
.
В предельном переходе при
получим условия:
-
(1).
- скорость движения поверхности раздела
фаз. Кроме условия (1) на поверхности
раздела фаз выполняется
(2)
.
Условия (1), (2) – дополнительные условия
на поверхности раздела фаз.
Задача о
замерзании воды:
Рассмотрим полуограниченный объем,
заполненный водой находящийся при
,
.
Граница этого объема в плоскости
поддерживается при температуре
,
тогда задача о замерзании воды (задача
Стефана) может быть сформулирована в
виде:
(3).
Уравнение теплопроводности твердой
фазы.
(4),
(5).
(6). Решение задач (1), (3)-(6) найдем в виде
фундаментальность о решение уравнения
теплопроводности.
,
.
Найдем
,
подставляя в начальные граничные
условия.
,
.
,
.
Два последних уравнения выполняются
для любых значениях
.
Это возможно, если
(8),
- некоторая
которую нужно найти. Выражение
(8) – закон
движения поверхности раздела фаз
;
- найдем
.
;
.
Выпишем решение:
.
(9) – уравнение является нелинейным
(трансцендентным)
уравнением для нахождения
.
Рассмотрим случай когда
. ( в (9) второе слагаемое =0 и сделаем
замену
,
)
уравнение (9) примет вид:
(9’), где
-
т.к
.
Интегральные уравнения (ИУ).
Интегральным уравнением называется уравнение, в котором искомая функция входит под знак интеграла.