Граничные условия второго рода (однородные)

(1) - поток тепла =0, т.е тепло не переходит, адиабатическое. Для решения задачи (1) функцию продолжим четным образом. по следствию 2 производная на границе =0. воспользуемся интегралом Пуассона на прямой:

( ) , т.к . В (…) ( + ) + .

Рассмотрим физическую задачу: имеется полуограниченный стержень, боковая поверхность полуизолированная.

.

Решение уравнения теплопроводности с неоднородными граничными условиями второго рода

(1), - интенсивность теплового потока падающего на границу х=0. решение задачи (1) будем искать в виде: + ,

- частное решение, удовлетворяющее неоднородному граничному условию, а функция - решение вспомогательной задачи:

, , (1’). Решение задачи (1’) находиться с помощью функции Грина решение задачи (1) в целом будет иметь вид: + . =А,

=В. Слагаемое А соответствует неоднородному начальному условию . Слагаемое В соответствует неоднородности в самом уравнение для функции . Интеграл из В возьмем по частям:

+ . Первые три слагаемых обращаются в 0. .

/берем по частям/

. Решение задачи (1) имеет вид:

. Краевая задача (1) рав-носильна следующей краевой задачи: (2)

(2). Тем самым осуществлен перенос неоднородности из граничного условия в само уравнение. Получим формулу решения задачи (1) удобным для практических расчетов.

/ , ,

/ .

Неоднородные граничные условия первого рода.

(1). Решение задачи (1) найдем с помощью решения 2-й краевой задачи сделаем замену: , задачу для функции заменим следующим образом:

(2). Решение задачи (2) согласно предыдущей задачи имеет вид: решение задачи (1) = производной со знаком минус. , т.к учитывая тождество .

. Последнее выражение указывает на то, что неоднородность из граничного условия задачи (1) можно перенести в само уравнение задача (1) будет равносильна следующей краевой задачи:

. Получим формулу удобную для практических задач:

. Т.к этот интеграл свертки, то можно поменять аргумент на . / ,

/ .

Решение уравнения теплопроводности в трех мерном пространстве.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения:

(1).

Определение: Функции Грина задачи Коши для уравнения (1) называется такое его решение которое:

1) удовлетворяет начальному условию .

2) непрерывна всюду в области : , кроме точки .

Чтобы построить функцию Грина докажем вспомогательную Лемму:

Лемма: Решение задачи Коши для уравнения с начальными условиями , где представима в виде = имеет вид: , где - решения соответствующих одномерных задач Коши, т.е , .

Доказательство:

+ + + + , - не зависят от х можно внести под знак х.

, т.е решение удовлетворяет уравнению теплопроводности. Проверим начальные условия: . Доказано.

Учитывая, что функция функцию Грина для уравнения (1) по условию Леммы можно представить в виде:

, решение задачи Коши в 3-х мерном пространстве будет иметь вид:

- интеграл Пуассона, причем функция начальное распределение температур, функций необязательно удовлетворяет условию переменной.

Классификация функции Грина.

Функция влияния мгновенного точечного единичного источника энергии:

, в трехмерном пространстве является линейным источником тепла , . Для решения двумерной задачи это будет точечный источник: .

Функция влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.

Используя для решения радиальной симметрии:

, , оператор Лапласа в круговой симметрии . Предположим, что в начальный момент времени на цилиндрической поверхности радиуса мгновенно выделилось единиц тепла. Найти температурное поле, вызванное действием такого источника. Проведем сечение в плоскости перпендикулярной оси цилиндра . На окружности полученной в сечение выделим элементарный участок . На поверхности цилиндра, ему будет соответствовать не которые образующие линии. Эта линия определяет линейный источник тепла в трехмерном пространстве. Действие всех таких линейных источников будут определяться интегралом по окружности, т.е:

/ распределение плотности по окружности/ / интегральная форма функции Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента/ , пусть , ,

- функция Грина цилиндрического источника тепла. Ранее написанную постоянной задачи Коши дается интеграл Пуассона вида: . Частный случай:

, это функция влияния мгновенного источника в виде бесконечной тонкой нити.