Теорема Стеклова.

Теорема: Всякая функция из класса А функций представляется рядом Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувиля абсолютно и равномерно сходятся.

Класс А функций удовлетворяет следующим условиям:

1. Они непрерывны в промежутке .

2. Имеют непрерывные производные первого порядка.

3. Удовлетворяют краевым условиям.

Доказательство: (была показана эквивалентность задачи Штурма-Ляувильля и ИУ Фредгольма)

Задача Ш-Л:

, (1). Согласно первой теореме Гильберта (Все собственные значения симметричного ядра вещественны.) решение задачи (1) можно представить в виде: , домножим на : , , тогда получим: (2). ИУ (2) эквивалентно краевой задачи (1) тогда собственные значения и собственные функции ИУ (1) определяют собственные значения и собственные функции задачи Ш-Л. Применим дифференциальный оператор в заданной функции , т.е: . Согласно первой теореме Гильберта: = , где функция - функция Грина дифференциального оператора с граничными условиями (1). Функция удовлетворяет условиям теоремы Г-Ш (: Если функция может быть представлена в форме:

, где является непрерывной функцией на промежутке , то функция может быть представлена в виде ряда по собственным функциям ядра абсолютно и равномерно сходящейся: ) и следовательно может быть представлена рядом Фурье по собственным функциям задачи Ш-Л (или ИУ в силу эквивалентности) абсолютно и равномерно сходящейся: .