2.11.3. Упрощение выражений с помощью карт

Карты позволяют упростить логические выражения. Главное при этом – сохранение истинностных значений исходной функции. Упрощение состоит в считывании функции с карты с применением основных логических правил (правило IV, табл. 2.14).

Для упрощения применяется определенный способ объединения ячеек, при котором формируются более крупные группы из ячеек карты.

Процедуру упрощения рассмотрим на примере. Возьмём в качестве исходной логическую функцию

(2.11.1).

Карта этой функции приведена на рис. 2.32.

	AB 00	01	11	10
CD 00			2	2,4
01
11	6		1	1,3,6
10	6,7		1,2,5	1,2,3,4, 5,6,7

Рис. 2.32. Карта функции .

Выпишем функции в каждой ячейке, следуя сверху вниз и слева направо. Получим функцию

(2.11.2).

Некоторые ячейки заполнялись более одного раза, например, угловая нижняя ячейка заполнялась семь раз, а считывается только один раз согласно правилу 1 табл. 2.14.

Полученная функция логически эквивалентна исходной, но слишком длинная и неудобная для использования.

Карта предоставляет возможности для упрощений. Для упрощений используется приём комбинирования любых двух соседних ячеек. Это приём называют также системой изменения одной переменной. Результатом комбинирования является сокращение букв, которые представлены одновременно и с отрицанием и без отрицания.

На рис. 2.33 представлен один из возможных вариантов попарного комбинирования ячеек.

В результате комбинирования получим функцию:

(2.11.3)

Ячейки верхней строки являются соседними ячейками нижней строки, а ячейки левого крайнего столбца являются соседними для ячеек правого крайнего столбца. Поэтому возможно комбинирование пар ячеек, расположенных в верхней и нижней строках, и в крайних левом и правом столбцах. Какой из вариантов комбинирования выбрать решает сам человек. (Решить задачу 4 из контрольных вопросов и задач).

	AB 00	01	11	10
CD 00			1	1
01
11	1		1	1
10	1		1	1

Р ис. 2.33. Попарное комбинирование ячеек карты,

представленной на рис. 2.32

Поскольку в процедуре не участвуют незаполненные ячейки и участвуют все заполненные, то получаемые при любом комбинировании функции оказываются эквивалентными.

Попарное комбинирование позволяет уменьшить как число членов функции, так и длину каждого из них.

Попарное комбинирование основано на прямом применении правила IV таб. 2.14.

Можно выбирать комбинации из четырёх не пустых соседних ячеек. В принципе допускаются любые комбинации соседних ячеек, число которых составляет какую-либо степень двух.

На рис. 2.34 показан один из возможных вариантов комбинирования с комбинированием четырёх ячеек.

В результате проведенного комбинирования (объединения двух ячеек по две и четыре ячейки) получаем функцию:

. (2.11.4)

Рассмотреть другие варианты комбинирования ячеек по четыре (Решить задачи 5 и 6 из контрольных вопросов и задач).

	AB 00	01	11	10
CD 00			1	1
01
11	1		1	1
10	1		1	1

Рис. 2.34. Попарное комбинирование ячеек карты,

представленной на рис. 2.32

Анализ задач с пятью и шестью переменными более сложен. Для тех, кому будет необходимо решать такие задачи, потребуется более глубокое изучение алгебры логики, для чего можно обратиться к следующим публикациям: Браун Д.Б., 1979;. Обухов В. Е., 1992; Шевелев Ю. П., 2000; Ерош, И. Л., 2001; Коледов Л. В., 2000; Валов, Г. М., 2000; Фридлендер, Б. И., 2005.

	AB 00	01	11	10
CD 00			1	1
01
11	1		1	1
10	1		1	1

Рис. 2.35. Попарное комбинирование ячеек карты,

представленной на рис. 2.32

Конечно, сейчас редко кто строит и анализирует карты логических функций. На сегодняшний день имеется достаточное количество хорошо разработанных компьютерных программ и конечно при необходимости лучше привлечь к решению задачи специалистов в данной области.

В результате проведенного комбинирования (объединения двух ячеек по две и четырёх ячеек) получаем функцию:

. (2.11.4)

Рассмотреть другие варианты комбинирования ячеек по четыре (Решить задачи 5 и 6 из контрольных вопросов и задач).

Конечно, сейчас редко кто строит и анализирует карты логических функций. На сегодняшний день имеется достаточное количество хорошо разработанных компьютерных программ и конечно при необходимости лучше привлечь к решению задачи специалистов в данной области.

2.12. Надёжность и риск аварий техногенных систем

2.12.1. Положения теории вероятностей,

используемые при оценке рисков:

понятие случайного события и вероятности

Опасность – это такая ситуация, при которой возникают опасные факторы, которые оказывают негативное воздействие на природные объекты и/или население. Появлению опасных ситуаций способствуют какие-то процессы и явления, связанные с деятельностью человека, или природные явления. Опасные факторы являются следствием деятельности человека или природных явлений и могут накапливаться постепенно (как, например, загрязнение химическими веществами) или проявляться внезапно, например, при взрыве. В любом случае и опасности, и опасные ситуации и опасные факторы возникают и действуют в пространстве и во времени и их возникновение связано с множеством разных случайных событий и процессов. Опасность, связанная с конкретным событием или процессом, представляет собой вероятность проявления данного события или процесса в данном месте и в данное время. Поэтому основным математически аппаратом, используемым при анализе опасностей и риска, является теория вероятностей (Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., 1986).

Основными понятиями в теории вероятностей являются случайное событие и вероятность.

Случайное событие – это такое событие, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Каждое осуществление совокупности условий, которые могут вызвать совершение случайного события, называют испытанием (опытом).

Несколько событий образуют полную группу, если в результате каждого испытания обязательно должно произойти одно из них.

События называют совместимыми (совместными), если они могут произойти одновременно.

Несколько событий называются попарно несовместимыми, если никакие два из них не могут произойти одновременно.

Противоположными называются два несовместимых события, образующих полную группу. Событие, противоположное событию А, обозначается (т.е. «не А»). Например, при метании монеты возможны два события – выпадение или орла или орешки. Эти два результата в данном примере составляют полную группу событий, так как являются несовместимыми и противоположными.

Несколько событий называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другое. При метании монеты выпадение орла или орешки выступают равновозможными событиями.

Если полная группа состоит из N равновозможных попарно несовместимых случайных событий, то каждому из событий приписывают вероятность, равную 1/N.

Классическое определение вероятности формулируется в следующем виде:

Если результаты испытания можно представить в виде полной группы N равновозможных попарно несовместимых событий, и если некоторое событие А появляется в M случаях, то вероятность события А равна

P(A)=M/N. (2.12.1)

Вероятность достоверного события A (т.е. события, которое в результате любого испытания должно произойти обязательно) равна 1: P(A)=1. Можно сказать, что вероятность достоверного события A принимается за единицу измерения вероятности. Если P(A)=0 , то событие наверняка не произойдёт.

В разделе 2.11 было показано, что все возможные события могут быть представлены в виде карт. Карта на языке теории вероятностей представляет собой выборочное пространство. Полное выборочное пространство или генеральная совокупность есть множество всех возможных подмножеств или комбинаций рассматриваемых событий. Следовательно, если все события выборочного пространства объединены в одно событие, обозначенное S, с помощью операции ИЛИ, то его появление становится достоверным, т.е.

P(S) = 1. (2.12.2)

Это соотношение часто называют второй аксиомой теории вероятностей.

Таким образом, из классического определения, следует, что вероятность любого случайного события всегда заключена между 0 и 1:

О ≤Р(А) ≤ 1. (2.12.3)

При проведении статистических испытаний в науке (физике, биологии, медицине и т.д.) или технике, число испытаний A, как правило, ограничено. Поэтому в таких случаях определяют частость событий f(A) по формуле

f(A)=m/n, (2.12.4)

где m – число появления события А, n – общее число проведенных испытаний.

Пусть A – булевское событие, т.е. событие, могущее иметь два исхода. Определение частости f(A) может бать получено применение частости в форме

, (2.12.5)

где N(A) и N(S) числа появления событий A и S соотстветственно, S – полное выборочное пространство.

При увеличении количества испытаний n до бесконечности частость появления события A стремится к вероятности Р(А) этого события, т.е.

f(A)  Р(А), при n.

При малом числе испытаний частость носит случайный характер и может сильно меняться от одной серии испытаний к другой. Если же в результате многочисленных испытаний установлено, что частость события колеблется около некоторой постоянной величины, то можно утверждать, что рассматриваемое событие имеет вероятность равную этой величине.

Применительно к задачам алгебры логики каждой логической переменной ставится в соответствие некоторая частость (относительная частота), с которой ожидается появление связанного с ней события. Если каждой логической переменной приписывать только два возможных значения 0 или 1 , то теперь частость каждого из них может иметь конкретную величину, лежащую в диапазоне между 0 и 1. По определению, данному выше, вероятность описывается частостью.

Существует два метода предсказания вероятностей: 1 – априорный, по характеру самой системы; 2 – эмпирический, по наблюдениям за прошлыми исходами. Оба метода предусматривают измерение частости, с которой ожидается появление события. В обоих случаях предполагается случайность и неизменность условий, при которых измеряется частость.

Анализируя разные опасные события и связанные с ними риски, на практике приходится складывать и умножать вероятности случайных событий. При этом, правила сложения и умножения зависят от того являются ли события совместимыми или несовместимыми, зависимыми или независимыми.