Важнейшие методы выделения основной тенденции (тренда) и периодических процессов (циклов)

В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать:

• основную тенденцию развития (осредненную компоненту динамики);

• закономерность изменения отклонений фактических уровней от тренда ;

• автокорреляционные зависимости.

Основная тенденция развития аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. В данном случае значения тренда в отдельные моменты времени будут являться математическими ожиданиями (средними значениями) ряда динамики. Часто основную тенденцию развития называют квази-детерминированной (осредненной) составляющей ряда динамики.

Автокорреляционные зависимости представляют собой тенденцию вариации связи между отдельными уровнями ряда динамики (зависимость текущего значения уровней ряда от предыдущих).

Начальным этапом выделения и анализа тренда является проверка гипотезы о существовании тренда .

Существует около десятка критериев проверки наличия тренда. Рассмотрим некоторые из них.

1. Проверка существенности разности средних. Ряд динамики разбивается на две равные или почти равные части. Проверяется гипотеза о существовании разности средних: .

Поскольку число членов анализируемого ряда, как правило, мало, то для проверки гипотезы воспользуемся теорией малой выборки. За основу проверки берется tα-критерий Стьюдента . При t ≥ tα гипотеза об отсутствии тренда отвергается, и наоборот, при t меньше или равном tα гипотеза (H₀) принимается. Здесь t — расчетное значение, найденное для анализируемых данных. tα — табличное значение критерия при уровне вероятности ошибки, равном α.

В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупностей ( ) определение расчетного значения t производится по формуле:

, (10.8)

где и — средние для первой и второй половин ряда динамики;

n₁ и n₂ — число наблюдений в этих рядах;

σ — среднеквадратическое отклонение разности средних, определяемое по формуле:

. (10.9)

Дисперсии для первой и второй частей ряда рассчитываются по формуле:

. (10.10)

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий осуществляется с помощью F-критерия , основанного на сравнении расчетного отношения с табличным. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

. (10.11)

Если расчетное значение F меньше табличного при заданном уровне значимости, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если F больше, чем табличное значение, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и зависимость для расчета t не пригодна для использования.

При выполнении условия о равенстве дисперсий определяется значение tα и проверяется гипотеза (H₀). При этом теоретическое значение tα определяется с числом степеней свободы, равным n₁ + n₂ - 2.

Рассмотренный метод дает положительные результаты для рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда. Поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличия тенденции.

2. Метод Фостера—Стюарта . Второй метод проверки наличия тенденции называется методом Фостера—Стюарта, который, помимо определения наличия тенденции, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

После установления наличия тенденции в ряду динамики производится ее описание с помощью методов сглаживания . К этим методам относятся следующие.

1. Метод усреднения по левой и правой половине . Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

2. Метод простой скользящей средней . Заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем — средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее — начиная с третьего, и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы скользят по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название — скользящая средняя.

3. Метод взвешенной скользящей средней . Основное отличие от предыдущего метода состоит в том, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами , т.к. аппроксимация в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному n-го порядка:

, (10.12)

где i — порядковый номер уровня интервала сглаживания.

Для отображения основной тенденции развития социально-экономических явлений применяются полиномы различной степени, экспоненты , логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

Полином первой степени

;

Полином второй степени

;

Полином третьей степени

;

Полином n-степени

.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамического ряда. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы второй степени — для отражения ряда с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы третьей степени — с постоянными третьими разностями и т.д.

10.6.