Методические указания
Часть 2.Теория вероятностей и математическая статистика
К этому разделу относятся задачи 10 – 16 части 2 контрольного задания
Пример 10. Задан ряд распределения случайной величины
Вероятности р заданы произвольно, исходя из условия: сумма их равна 1
------------------------------------------
х 1 2 3 4 5 6
------------------------------------------
р 0,1 0,3 0,2 0,1 0,2 0,1
1)Найти математическое ожидание и дисперсию.2)Построить функцию распределения. 3) Найти вероятности следующих событий: случайная величина примет значение а) не больше единицы;
в) не меньше своего математического ожидания.
Решение. 1) Здесь используются формулы для математического ожидания
М(X)=
х
р
+х
р
+…х
р
и дисперсии D(X)=(х ) р +(х ) р +…(х ) р -( М(X))
Подставляя в формулы значения из таблицы, вычислим
М(X)= 1 0,1+2 0,3+3 0,2+4 0,1+5 0,2+6 0,1=3,3
D(X)=1 0,1+4 0,3+9 0,2+16 0,1+25 0,2+36 0,1-(3,3) =2,41
2) Функция распределения F(x) равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньше х. Исходя из этого определения, найдем
F(x)
=
3)
Р(X
1)=0,1;
Р(X
3,3)=0,1+0,2+0,1=0,4
Пример 11. Стрелок делает по мишени п выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. 1)Построить ряд распределения числа попаданий. 2)Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий. 3)Найти вероятность хотя бы одного попадания.
( n=3; р=0,3)
Решение.
При решении задачи следует использовать
биномиальное распределение:
P
(X=m)=C
p
(1-p)
,
m=0;1; ;n
1)Ряд распределения числа попаданий имеет вид таблицы
m 0 1 2 3
--------------------------------
р 0,343 0,441 0,189 0,027
Проверка. 0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 =1
2) Среднее число или математическое ожидания и дисперсию числа попаданий можно найти двумя способами: либо используя формулы из примера 10, или
общие формулы для биномиального распределения: М(X)n p; D(X)=n p(1-p)
М(X)=3 0,3=0,9; D(X)=3 0,3 0,7=0,63 3) P (X 1)=1- P (X=0)=1-0,343=0,657
Пример12. В урне имеются а белых и b черных шаров. Вынимают 2 шара. Построить ряд распределения числа черных шаров среди вынутых.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных шаров.
Решение.
Пусть а=3 b=4. Очевидно,
что случайное число
черных
шаров может принимать значения 0; 1; 2.
Найдем вероятности этих значений.
Обозначим через А первый вынутый шар,
через В – второй вынутый шар. Индекс 1
означает, что вынутый шар – белый, индекс
2 – черный.
Р(X=0)=Р(А
В
)=
=
,
Р(X=1)=Р(А
В
+А
В
)=
+
+
=
,
Р(X=2)=Р(А
В
)=
=
.
Ряд
распределения числа черных шаров имеет
вид
М(X)=
D(X)=
-
=
Пример 13. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея в запасе n патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. Построить ряд распределения числа израсходованных патронов.
Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов.
(n,p из задачи 11)
Решение. n=3, p=0,3. Очевидно, что случайное число израсходованных патронов может принимать значение 1, 2, 3. Найдем вероятности этих значений.
Обозначим
А
-
попадание при i выстреле,
-
промах при i выстреле.
Р(X=1)=Р(А )=0.3. Р(X=2)=Р( А )=0,7 0,3=0,21. Р(X=3)=Р( )=(0,7) =0,49. Таким образом ряд распределения имеет вид
М(X)=1 0,3+2 0,21+3 0,49=2,19 D(X)=1 0,3+4 0,21+9 0,49-(2,19) =0,754
14.Телефонная станция обслуживает n абонентов. Вероятность того, что любой абонент позвонит в течении часа равна р. Какова вероятность получения в течении часа от 20 до 30 вызовов? Найти математическое ожидание и дисперсию числа вызовов.
(Использовать нормальное распределение при n=100, p из задачи 11)
Решение. Вероятность того, что число вызовов при большом значении n будет заключено между m и m находят, используя нормальное распределение ( интегральную формулу Лапласа)
М(X)=n p=30; D(X)=n p(1-p)=21
P(m
X
m
)=Ф(х
)-Ф(х
),
где х
=
,
Ф(х)-интеграл вероятностей или функция
Лапласа, для которой составлены таблицы.
P(20 X 30)=Ф(х )-Ф(х )=Ф(0)-Ф(-2,19)=0+0,363=0,363.
где
х
=
-2.19
, х
=
0
. 15. Совместное распределение случайных величин задано таблицей.
1) Получить частные распределения этих величин
2) Найти М(Х), М(Y),D(X), D(Y), cov(X,Y), r .(X,Y)
3) Получить уравнения прямых регрессии Y на Х и Х на Y
4) Изобразить на плоскости возможные положения случайной точки (Х,Y). и точку ( М(Х), М(Y)). Построить прямые регрессии.
-
Y
X
0
1
.0
1/8
0
1
2/8
1/8
2
1/8
2/8
3
0
1/8
Решение. 1) Частные распределения имеют вид
х 0 1 2 3 y 0 1
---------------------------- --------------
р 1/8 3/8 3/8 1/8 р 1/2 1/2
2)
М(Х)=1,5; М(Y)=0,58:
D(X)=0,75;
D(Y)=0,25;
cov(X,Y)=0,25;
r(X,Y)=
3) Регрессия Y на Х: y= x . Регрессия Х на Y: x=y+1.
4) Графики строят, исходя из уравнений регрессий, а точки (X,Y), исходя из таблицы.
16.
Найти выборочный коэффициент корреляции
r
и выборочное уравнение линейной регрессии
y=ax+b.
По таблице
Решение.Здесь дана выборка объема n=5 из двумерной генеральной совокупности (х,у). Для решения задачи требуется найти следующие величины
выборочные
средние-
,
выборочные дисперсии и среднеквадратичные отклонения
D
=
-(
)
,
D
=
-(
)
,
,
,
где
=
,
=
выборочный коэффициент корреляции
r
=
,
где
=
(х
у
+х
у
+х
у
+х
у
+х
у
)
Коэффициент
корреляции r
любых двух случайных
величин удовлетворяет неравенству
r
.
Значения r
близкие к нулю соответствуют отсутствию
связи между случайными величинами х и
у, а значения близкие по модулю к единице-
тесной связи между х и у.
Выборочное уравнение линейной регрессии имеет вид
Последнее уравнение может быть приведено к виду
y=ax+b
Для приведенной выборки =3,6, =10,6
D
=
,
D
=69,44
= ((-2) (-2)+2 8+3 11+4 12+11 24)=73
r
=
.
Выборочное
уравнение регрессии
или
у=1,95х+3,57.