Методические указания

Номера разобранных примеров соответствуют номерам задач контрольного задания.

Часть 1

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

К этому разделу относятся задачи 1-4 контрольной работы.

Пример 1. Заданы координаты вершин А(1.1). В(2.7), С(3,5) треугольника АВС.

Найти: а) его периметр б) уравнения сторон (с проверкой) в) построить треугольник в системе координат ОХУ

Решение. а) Периметр треугольника – это сумма длин его сторон. Длина стороны – это расстояние между двумя точками плоскости:

АВ = =

ВС=

АС=

Р= АВ+ВС+АС= + +2 = +3

б) Уравнение сторон – это уравнение прямых, проходящих через две точки:

уравнение прямой АВ:

= , 6x-y-5=0

Проверка: подставим в подчеркнутое уравнение координаты точек А и В

2 2+7-11=0 (верно) 2 3+5-11=0 (верно)

Уравнения остальных сторон треугольника получим аналогично.

в) строим треугольник по координатам его вершин

Пример 2. Вычислить определитель двумя способами.

Решение.1 способ. Используем правило Саррюса

(1 2 1 + (-1) 3 (-1)+ 1 2 0) – ( (-1) 2 0 + 1 (-1) 1 + 2 3 1) = 2+ 3 + 1 – 6 =0

2 способ. Используем разложение определителя по элементам первой строки

1 - (-1) + 0 =(2-6) + (1+3) =0

Пример 3. Определить ранг матрицы

Решение. Будем находить ранг матрицы приведением ее к ступенчатому виду методом элементарных преобразований

Ранг матрицы А равен числу ненулевых строк в матрице ступенчатого вида

Ответ: r(A)=2

Пример 4. Решить систему линейных уравнений с проверкой методом Крамера и методом Гаусса.

Решение. 1 способ. Формулы Крамера имеют вид

х = , х = , х = , где

0 - главный определитель системы ( определитель матрицы коэффициентов при неизвестных), ( i=1,2,3) – определитель, полученный из главного, заменой i столбца столбцом свободных членов.

= =-14, = =-28, = =0, = =14

х =2, х =0, х =-1.

2 способ. Универсальным методом решения систем является метод Гаусса

( метод исключения неизвестных). Для его реализации расширенную матрицу системы приводят к ступенчатому виду

А =

Последняя матрица соответствует системе, равносильной исходной

,откуда х =2, х =0, х =-1.

Проверка: подставляем полученные значения переменных в левую часть исходной системы:

2-3=-1 (верно), 4-1=3 ( верно) , 6+2=8 ( верно).

Ответ: х =2, х =0, х =-1

Математический анализ

К этому разделу относятся примеры 5 – 9 задания.

Пример 5.Найти производные первого и второго порядка функции y=

Решение. Достаточно знать таблицу производных основных элементарных функций и основные правила дифференцирования.

, .

Пример 6. Дана функции у= Найти область определения функции,

точки пересечения ее графика с осями координат, асимптоты графика,

характер монотонности функции, точки экстремума и экстремумы,

интервалы выпуклости, точки перегиба, построить график.

Решение. Для решения следует применить общую схему исследования функциии. Область определения: D(y)=(

Точки пересечения с осями : с осью ОХ: 3х-1=0 х= , c осью ОУ: у(0)=1.

Асимптоты графика функции: вертикальная асимптота: х=-0,5, поскольку = ; горизонтальная асимптота: у=0,5 поскольку =

Характер монотонности: функция возрастает на всей области определения, поскольку Точки экстремума и экстремумы: точек экстремума и экстремумов нет, поскольку функция возрастает. Интервалы выпуклости: поскольку при , то график функции выпуклый вниз при , поскольку при , то график функции выпуклый вверх при

Точки перегиба: точек перегиба нет, поскольку в области определения функции. График функции: строят, исходя из свойств функции.

Пример 7 Дана функция .Найти частные производные первого и второго порядка функции. Найти и построить градиент функции в точке М(1;1) Исследовать на экстремум

Решение. Для нахождения частных производных первого порядка функции двух независимых переменных вторую переменную следует считать постоянной величиной. =2х-2у, =-2х+1, =2, =0, =-2.

(1;1)=0 (1;1)=-2 grad z(1;1)= 0; 2 Далее следует построить.

Для исследования на экстремум сначала следует найти стационарные точки функции из условия . Для данной функции имеем

откуда х=0.5 у=0,5 – стационарная точка. Далее исследуем стационарную точку. Вычисляем в стационарной точке. В данном примере

. Поскольку , то в стационарной точке экстремума нет.

Пример .8. Найти интеграл

Решение. = -4х+ln +C

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение. , где F(x)-первообразная для функции f(x).

=(2lnx+ ) =(2ln2+0,5)-(2ln1+1)=2ln2-0,5.

Контрольные задания для студентов 2 курса (часть 2 Теория вероятностей)

10. Записать ряд распределения случайной величины

(вероятности р задать, исходя из условия: их сумма равна 1)

------------------------------------------

х 1 2 3 4 5 6

------------------------------------------

р

--------------------------------------------

. 1)Найти математическое ожидание и дисперсию.2)Построить функцию распределения. 3) Найти вероятности следующих событий: случайная величина примет значение а) не больше единицы; в) не меньше своего математического ожидания.

11.Стрелок делает по мишени п выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. 1)Построить ряд распределения числа попаданий. 2)Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий. 3)Найти вероятность хотя бы одного попадания.Выбрать р, исходя из номера варианта

n=3;р=1)0.1;2)0,2;3)0,25;4)0,35;5)0,4;6)0,55;7)0,6;8)0,7;9)0,8;10)0,9

12. В урне имеются а белых и b черных шаров. Вынимают 2 шара. Построить ряд распределения числа черных шаров среди вынутых.

Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных шаров.

12.1.а=1 b=2.12.2 а=1 b=3.12.3 а=2 b=1 12.4 а=2 b=2 12.5 а=2 b=3.

12.6 а=3 b=1.12.7 а=3 b=2 12.8 а=3 b=3 12.9 а=2 b=3. 12.10 а=1 b=4.

13.Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея в запасе n патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. 1)Построить ряд распределения числа израсходованных патронов.

2)Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов.

(n,p из задачи 11)

14.Телефонная станция обслуживает n абонентов. Вероятность того, что любой абонент позвонит в течении часа равна р. 1)Найти среднее число и дисперсию числа вызовов.2)Какова вероятность получения в течении часа от 20 до 30 вызовов?

(Использовать нормальное распределение при n=100, p из задачи 11)

15. Совместное распределение случайных величин задано таблицей.

1) Получить частные распределения этих величин

2) Найти М(Х), М(Y),D(X), D(Y), cov(X,Y), r .(X,Y)

315) Получить уравнения прямых регрессии Y на Х и Х на Y

4) Изобразить на плоскости возможные положения случайной точки (Х,Y). И точку ( М(Х), М(Y).Построить прямые регрессии.

Y X	y	y
.x	1/8	0
x	2/8	1/8
x	1/8	2/8
x	0	1/8

Выбрать х и y в зависимости от номера N варианта из таблицы

N	x	x	x	x	y	y
1	0	1	2	3	-1	0
2	0	1	2	3	1	2
3	1	2	3	4	0	1
4	1	2	3	4	1	2
5	1	2	3	4	-1	0
6	-1	0	1	2	-1	0
7	-1	0	1	2	0	1
8	-1	0	1	2	1	2
9	-1	0	1	2	2	3
10	0	1	2	3	2	3

16.Найти выборочный коэффициент корреляции r и выборочное уравнение линейной регрессии y=ax+b.Построитьпрямую регрессии и изобразить на плоскости точки ( x,y) из таблицы.

16.1 16.6

16.2 16.7

16.3 16.8

16.4 16.9

16.5 16.10