Методические указания по изучению дисциплины, подготовке к практическим занятиям, выполнению контрольных работ и рефератов

1. Общие цели и задачи дисциплины

Учебные дисциплины «Математика», «Математика и информатика», «Экономико-математические методы» являются обязательным компонентом в подготовке бакалавров и специалистов по гуманитарным направлениям. Это общеобразовательные и специальные дисциплины из цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин. Основное назначение изучения математики – повышение уровня профессиональной подготовки в области применения современного математического аппарата в профессиональной деятельности.

Общий замысел дисциплины состоит в том, чтобы представить математику в качестве неотъемлемого атрибута профессиональной деятельности. Эта цель подразумевает изложение не только теоретических положений, но, прежде всего, представлений о месте математики в современном мире в целом и будущей профессиональной деятельности. Эти представления исторически формировались благодаря накопленному практическому опыту применения математического аппарата, но сейчас их следует рассматривать как достояние единой естественнонаучной культуры. Оно состоит в том, что благодаря становлению стратегий естественнонаучного мышления и математики как инструмента, помогающего познанию, человечество обрело понимание места и роли математического аппарата для получения того или иного знания.

Программы дисциплин составлены с единых позиций, позволяющих установить единство естественных наук в целях построения концептуального каркаса целостной естественнонаучной картины мира.

Концепция формирования содержания программ дисциплин «Математика» сводится к следующему:

1. Математика рассматривается как комплекс знаний и практических умений со своим предметом и методами изучения.

2. В математике существуют сквозные специфические идеи и принципы, общие для всех изучаемых тем.

3. Математика является одним из центров объединения естественнонаучного знания.

Целями изучения дисциплины являются:

изучение современных математических методов, формализующих процессы управленческой деятельности и формирование у студентов навыков использования математического аппарата для решения широкого спектра задач профессиональной деятельности.

Организационная и содержательная структура дисциплины

Для обучения математике используются следующие виды занятий: лекции, практические (семинарские) и самостоятельные занятия.

Степень углубленности изучения отдельных разделов и тем, содержание лекций и практических (семинарских) занятий под руководством преподавателя определяются кафедрой общих математических и естественнонаучных дисциплин с учетом требований ГОС РФ к уровню знаний, установленного учебными планами объема времени, потребностей в сведениях из других дисциплин и опыта кафедры по обучению студентов.

Лекции обеспечивают теоретическое изучение дисциплины и являются одним и важнейших видов учебных занятий. На лекциях излагается основное содержание курса и делаются выводы об его применимости в других дисциплинах и практических приложениях.

На практических (семинарских) занятиях обучаемые овладевают основными методами практической работы. На практических (семинарских) занятиях могут также сообщаться дополнительные теоретические сведения. Одной из важных целей практических (семинарских) занятий является обучение рациональной организации работы обучаемых по учебникам и учебным пособиям. Преподаватель на практических занятиях контролирует знания обучаемых по теоретическому материалу, изложенному на лекциях, и результаты самостоятельного выполнения ими задач.

Самостоятельная работа обучаемых включает самостоятельные занятия под руководством преподавателя и самостоятельную работу. Самостоятельная работа состоит из систематического закрепления теоретического материала, выполнения текущих заданий и подготовке к зачетам и экзаменам.

2 Методические рекомендации по проведению основных видов занятий

2.1. Рекомендации по методике чтения лекций

Основной определяющей, организующей и направляющей частью учебного процесса по дисциплине "Математика" являются лекции. Лекция определяет объем изучаемого материала, его научный уровень, глубину, методику изложения. Из нее вытекают требования к организации и методике проведения других составных частей учебного процесса, она дает направление самостоятельной работе студентов.

В лекциях должно быть изложено содержание курса, предусмотренного программой для высших учебных заведений.

Изложение теоретического материала должно сопровождаться разбором и выполнением достаточного количества примеров, разъясняющих прикладную сущность изучаемых вопросов.

Лекция должна состоять из вступительной, содержательной и заключительной части. Во вступительной части необходимо объявить

наименование темы;

учебные вопросы и цели лекции;

практическую значимость изучаемых вопросов; последовательность изучения учебных вопросов;

распределение времени и учебную литературу.

Содержательная часть лекции включает последовательное изложение основных вопросов с использованием доски, наглядных пособий и технических средств обучения.

В заключительной части необходимо ответить на вопросы обучаемых и провести разбор лекции:

степень достижения учебных целей;

оценку работы студентов;

недостатки работы и пути их устранения;

задание студентам на самостоятельную работу.

2.2. Рекомендации по методике проведения практических (семинарских)

занятий

На практических (семинарских) занятиях обучаемые овладевают основными методами и приемами самостоятельной работы с изучаемым математическим аппаратом, а также получают разъяснения теоретических положений курса. При этом рекомендуется с помощью вопросов развивать навыки практического решения задач с помощью изучаемого математического аппарата.

При проведении практических занятий должное внимание следует уделять вопросам прикладного характера, связанным с будущей работой выпускников по специальности.

Преподаватель на практических занятиях контролирует знания обучаемых по теоретическому материалу, изложенному на лекциях. Результаты контроля оперативно фиксируются преподавателем в журнале.

В результате изучения материала на практических занятиях студенты должны уметь:

выполнять задания по соответствующим разделам и темам дисциплины;

выполнить контрольные (тесты) задания (в том числе и на ПЭВМ);

выполнить задание и ответить на теоретические вопросы на экзамене или зачете.

Для достижения указанных целей практическое (семинарское) занятие рекомендуется проводить по следующему плану.

1. Тема занятия и его цель.

Преподаватель формулирует и записывает на доске тему занятия и коротко излагает его цель.

2.Литература по теме семинара.

Список литературы может быть дан на первом занятии по разделу в начале семестра. Тогда на занятии лишь делается ссылка на соответствующие источники.

3. Вопросы по теоретическому материалу.

Рекомендуется сформулировать 5-6 вопросов теории, которые являются наиболее важными для данного занятия и на базе которых выполняются задания.

4. Выполнение заданий.

Подбор заданий является самым важным аспектом в плане подготовки к практическому занятию (семинару).

Задания следует разделить на две группы:

1.Задания для выполнения в аудитории.

2.Задания для выполнения во время самостоятельных занятий.

Основными формами контроля знаний на практических (семинарских) занятиях являются:

проверка домашнего задания;

краткий опрос теории;

выполнение контрольных заданий.

По результатам контроля в конце изучения темы на практическом занятии проставляется аттестационная оценка.

2.3. Рекомендации по организации самостоятельной подготовки и выполнению контрольных работ

Самостоятельная работа студентов является одним из важнейших элементов обучения. Совершенствование организации самостоятельной работы студентов связано с методической помощью и контролем со стороны преподавателя.

Самостоятельная подготовка должна проводиться по следующими направлениям:

изучение теоретического материала, изложенного на лекциях или оставленного для самостоятельной проработки;

закрепление навыков выполнения заданий после проведения практических занятий;

выполнение контрольных работ;

подготовка к зачетам и экзаменам.

При разработке заданий на самостоятельную подготовку необходимо учитывать следующие требования:

индивидуальный подход к обучаемым;

соответствие тематике практических занятий;

доступность объема предлагаемых заданий;

Пройденный ранее материал также целесообразно повторить перед следующей лекцией или практическим занятием - это существенно облегчит понимание нового материала, который всегда базируется на уже пройденном.

2.4. Рекомендации по проведению зачетов и экзаменов

Подготовка к зачетам и экзаменам должна вестись систематически в течение всего семестра.

При подготовке и проведении зачета (экзамена) следует исходить из того, что экзамен (зачет) является продолжением процесса обучения. Повторяя к экзамену (зачету) изученный материал, студент приводит в систему полученные знания, устанавливает взаимосвязь между отдельными понятиями, разбирается в том, что было упущено на занятиях.

По окончании чтения курса лекций или заранее студентам выдаются вопросы, которые выносятся на экзамен (зачет). Вопросы к экзамену должны отражать логическую структуру курса.

Экзаменационный билет по математике должен содержать два вопроса и практическое задание. В один билет включаются два вопроса из разных тем курса, чтобы шире охватить круг изучаемых вопросов. Число билетов должно быть больше, чем число студентов в группе.

Перед экзаменом (зачетом) преподаватели проводят консультации. На последней лекции лектор проводит установочную консультацию, на которой дает рекомендации по распределению времени, отведенного на подготовку, между темами курса.

На консультации, которая проводится непосредственно перед экзаменом, преподаватель отвечает на вопросы студентов.

Экзамен (зачет) проводится согласно расписанию в назначенный день и время.

Следует соблюдать следующие нормативы:

в аудитории число готовящихся не должно превышать 4-5 человек на одного экзаменатора;

старшим в аудитории является лектор, который должен решать вопрос об окончательной оценке в случае спорной ситуации;

руководство факультета может присутствовать на экзамене, но не имеет право вмешиваться в ход экзамена;

после получения студентом билета экзаменатор должен записать номер билета и время его получения;

студент должен оформить первую страницу листов бумаги, на которых он будет записывать свой ответ: фамилия, инициалы, номер группы, номер билета, вопросы;

по окончании ответа все материалы сдаются экзаменатору;

на подготовку к ответу должно быть отведено не менее 30 минут.

При оценке ответа следует иметь в виду, что студент должен показать знание теоретического материала и умение выполнять основные задания курса.

2.5. Методические указания по самостоятельному изучению тем дисциплины, подготовке к практическим занятиям и выполнению контрольных работ.

При самостоятельном изучении дисциплины следует прежде всего изучить литературу по соответствующей теме, обращая внимание на наиболее важные моменты, определяющие понимание соответствующего раздела. Обобщенные темы по всем дисциплинам данного УМК и краткие рекомендации по их изучению приведены ниже.

2. Обобщенные темы, входящие в комплекс дисциплин «Математика» и краткие рекомендации по их изучению

При изучении указанных ниже тем курса самостоятельно и при подготовке к семинарским (практическим занятиям) следует обратить внимание на следующие ключевые вопросы, которые могут являться темами контрольных работ и семинарских (практических) занятий. Каждый из указанных вопросов необходимо самостоятельно повторить по ученику и решить указанные преподавателем контрольные задания.

1.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

метод координат;

векторы; линейные операции над векторами; направляющие косинусы и длина вектора; понятие о векторных диаграммах в науке и технике;

скалярное произведение векторов и его свойства; длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме; условие ортогональности двух векторов; механический смысл скалярного произведения;

определители второго и третьего порядков, их свойства; алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка; вычисление определителя разложением по строке (столбцу);

условие коллинеарности двух векторов; геометрический смысл определителя второго порядка.

уравнение линий на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; расстояние от точки до прямой;

кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения;

уравнения плоскости и прямой в пространстве; угол между плоскостями; угол между прямыми; угол между прямой и плоскостью;

поверхности второго порядка; геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений;

матрицы, действия с ними; понятие обратной матрицы;

системы двух и трех линейных уравнений; матричная запись системы линейных уравнений; правило Крамера; система n линейных уравнений с n неизвестными; метод Гаусса; нахождение обратной матрицы методом Гаусса; метод Гаусса в приближенной арифметике; теорема Кронекера-Капелли;

линейные операции над векторами;

линейные и квадратичные формы;

понятие линейного (векторного) пространства; вектор как элемент линейного пространства; примеры;

отображения линейных пространств; линейные отображения, их матрицы; примеры; принцип сжимающих отображений; норма оператора;

евклидово пространство; неравенство Коши - Буняковского; ортогональный базис; процесс ортогонализации; разложение вектора по ортогональному базису; собственные векторы и собственные значения линейных операторов; свойства собственных векторов и собственных значений симметрических операторов;

преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису; канонический вид симметрического оператора;

2.Введение в математический анализ

элементы теории множеств; множество вещественных чисел; функция; область ее определения; способы задания; основные элементарные функции, их свойства и графики;

числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах; предел числовой последовательности; стабилизация десятичных знаков у членов последовательности, имеющей предел; существование предела монотонной ограниченной последовательности;

сложные и обратные функции, их графики; класс элементарных функций;

предел функции в точке; предел функции в бесконечности; пределы монотонных функций;

непрерывность функций в точке; непрерывность основных элементарных функций;

бесконечно малые в точке функции, их свойства; сравнение бесконечно малых;

свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений;

дифференциальное исчисление функций одной переменной; понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его геометрический смысл; общее представление о методах линеаризации;

производная функция, ее смысл в прикладных задачах (скорость, плотность); правила нахождения производной и дифференциала;

производная сложной и обратной функции; дифференцирование функций, заданных параметрически;

точки экстремума функции; теорема Ферма;

теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение;

производные высших порядков;

правило Лопиталя;

формула Тейлора; представление функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x), (1+x)? по формуле Тейлора; применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков

условия монотонности функции; экстремумы функции, необходимое условие; достаточные условия; отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке;

исследование выпуклости функции; точки перегиба;

асимптоты функций;

общая схема исследования функции и построения ее графика;

понятие кривой; примеры; уравнение касательной и кривой в данной точке;

применение математических пакетов для исследования функций; символьные и численные вычисления в математике с помощью программных средств стандартных систем математических вычислений; элементы высшей алгебры;

комплексные числа, действия с ними; изображение комплексных чисел на плоскости; модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа; формула Эйлера; показательная форма записи комплексного числа; корни из комплексных чисел; неопределенный интеграл;

первообразная; неопределенный интеграл и его свойства; методы интегрирования; использование таблиц интегралов;

определенный интеграл; задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; определенный интеграл, его свойства;

формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов;

двойной и тройной интегралы, их свойства; вычисление кратных интегралов повторным интегрированием;

функции нескольких переменных; область определения; предел функции; непрерывность; некоторые понятия топологии;

частные производные; полный дифференциал, его связь с частными производными; касательная плоскость и нормаль к поверхности;

частные производные высших порядков;

экстремумы функции нескольких переменных; необходимое условие экстремума;

условный экстремум; метод множителей Лагранжа; примеры применений при поиске оптимальных решений;

обыкновенные дифференциальные уравнения; задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (экономика, социология и др;); дифференциальные уравнения первого порядка; задача Коши; основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах;

линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные; понятия общего решения;

линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами; уравнения с правой частью специального вида; приложение к описанию линейных моделей в экономике;

системы обыкновенных дифференциальных уравнений; нормальная система дифференциальных уравнений; автономные системы; векторная запись нормальной системы; геометрический смысл решения; фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая; приложения в моделировании экономических процессов;

задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений;

системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений; решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;

теория вероятностей;

предмет теории вероятностей; пространство элементарных событий; алгебра событий; понятие случайного события; классическое и геометрическое определение вероятности;

комбинаторика; бином Ньютона; элементарная теория вероятностей; методы вычисления вероятностей;

схема Бернулли;

дискретные случайные величины; функция распределения, ее свойства; математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины;

непрерывные случайные величины; функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства; математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины;

нормальное распределение, его свойства;

случайные векторы; закон распределения;

числовые характеристики случайных векторов; условные математические ожидания; функции регрессии; ковариационная матрица; коэффициенты корреляции;

функции случайных величин и случайных векторов, их законы распределения;

понятие о различных формах закона больших чисел; теоремы Бернулли и Чебышева; центральная предельная теорема Ляпунова;

цепи Маркова;

понятия случайного процесса;

элементы математической статистики;

статистические методы обработки экспериментальных данных

основы статистического описания; гистограмма и полигон частот; эмпирическое распределение и его свойства;

выборочные характеристики и их распределения; асимптотические свойства выборочных моментов;

точечные оценки; свойства несмещенности, состоятельности и эффективности; отыскание оценок методом моментов; оценки наибольшего правдоподобия и их свойства;

интервальные оценки; доверительные интервалы и области; интервальные оценки параметров нормального и биномиального распределений;

статистическая проверка гипотез; общее понятие о статистической проверке гипотез; простые и сложные гипотезы; критерий и критическая область; ошибки первого и второго рода; оптимальный критерий Неймана-Пирсона для различения двух простых гипотез; функция мощности; несмещенные критерии; примеры критериев;

корреляционный анализ; оценки основных характеристик многомерного нормального закона распределения; проверка значимости и интервальная оценка парных и частных коэффициентов корреляции;

регрессионный анализ; особенности модели; выбор вида уравнения регрессии, результативной и объясняющих переменных; метод наименьших квадратов и свойства получаемых оценок; проверка значимости и интервальное оценивание уравнения и коэффициентов регрессии; пошаговые алгоритмы регрессионного анализа; понятие мультиколлинеарности;

дисперсионный анализ; схемы одно-, двух- и трехфакторного дисперсионного анализа; оценка влияния одновременно действующих факторов;

элементы статистики случайных процессов; статистические оценки характеристик стационарного случайного процесса; оценки среднего и корреляционной функции случайного процесса;

временные ряды; анализ составляющих; методы наименьших квадратов и скользящей средней;

основные понятия многомерного анализа; методы факторного анализа, их области применения; метод главных компонент; классификация объектов, описываемых количественными и качественными признаками; примеры кластер-анализа;

Основы математической логики и дискретной математики:

необходимое и достаточное условие; прямая и обратная теоремы; символы математической логики, их использование; формулы сокращенного умножения;

логика высказываний; логические операции; логические формулы; нормальные формы логических выражений; приложения логики высказываний для решения текстовых задач и составления запросов к базам данных;

логика предикатов первого порядка; моделирование закономерностей предметных областей знания логическими формулами; базы данных, языки запросов и логические формулы;

основные понятия теории графов; матричные и числовые характеристики графов;

прикладные задачи и алгоритмы анализа графов;

сетевые модели;

методы оптимизации

классификация задач математического программирования; примеры задач, решаемых методами математического программирования;

постановка и различные формы записи задач линейного программирования; стандартная и каноническая формы представления задач линейного программирования; геометрическая интерпретация задач линейного программирования;

симплекс-метод; симплексные таблицы; экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы;

двойственные задачи и методы; экономическая интерпретация пары двойственных задач;

экономическая и математическая формулировки транспортной задачи; правила построения цепей; потенциалы, их экономический смысл; метод потенциалов; основные способы построения начального опорного решения; транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления;

примеры целочисленных моделей; методы решения задач целочисленного программирования; метод Гомори; метод ветвей и границ; остановка задачи о коммивояжере; решения ее методом ветвей и границ;

выпуклые множества и их свойства; угловые точки; выпуклые и вогнутые функции; основная задача выпуклого программирования; условие регулярности; функция Лагранжа; седловая точка функции; теорема Куна-Таккера; различные виды условий Куна-Таккера; задача с линейными ограничениями;

локальный и глобальный экстремумы; унимодальные функции; методы поиска; пассивный и активный поиск; оптимальная стратегия Фибоначчи; методы дихотомии и золотого сечения;

общая схема градиентных методов; градиентные методы с регулировкой шага; сходимость градиентных методов; эффект " оврагов"; метод сопряженных направлений;

методы проекции градиента и возможных направлений; методы внутренних и внешних штрафных функций;

Исследование операций:

исследование операций - совокупность математических методов обоснования и принятия оптимальных решений; обобщенная схема операции; математические модели исследования операций;

оценка эффективности стратегий; виды неопределенностей в исследовании операций; принцип гарантированного результата;

основные понятия теории управления запасами; классификация моделей управления запасами; определение стоимости хранения, поставок и штрафа; детерминированные и вероятностные модели спроса;

динамическое программирование; принцип оптимальности; уравнение Беллмана; простейшая задача управления запасами; решение задачи методом динамического программирования; построение оптимальной производственной программы выпуска продукции с постоянным, переменным и случайным спросом;

скользящее планирование; модель управления запасами с вогнутой и выгнутой функцией затрат; S - стратегия управления запасами; модели экономически выгодных размеров заказываемых партий; формула Уилсона;

теория игр - теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов и неопределенностей; игра как математическая модель конфликта; основные понятия теории игр: стратегия, оптимальная стратегия; классификация игр;

основные определения теории матричных игр; антагонистические игры; теорема об оптимальных стратегиях; критерий оптимальности стратегий; матричные игры с седловой точкой; максиминные и минимаксные стратегии игроков;

смешанная стратегия; теорема фон Неймана о существовании седловой точки в смешанном расширении игры; значение игры, оптимальные и активные стратегии игроков; распределение капиталовложений на основе игровых критериев;

основная теорема теории матричных игр; игры 2x2, решение в чистых и смешанных стратегиях; игры 2xn и nx2, графический метод решения; применение методов линейного программирования к решению матричных игр;

критерии принятия решений в условиях неопределенности и риска;

Возможная тематика курсов по выбору

1. Роль математики в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях.

2. Элементы комбинаторики.

3. Оптимизация распределения ресурсов и эффективность.

4. Финансовая математика.

5. Основные модели экономической динамики.

6. Риск и неопределенность в экономике.

7. Введение в портфельный анализ.

8. Игровые экономические модели и оптимизационный подход в экономике.

9. Моделирование потребительского портфеля.

10. Моделирование производства.

Важное место в изучении математики имеет самостоятельная работа и выполнение контрольных заданий. Типовой вариант контрольных заданий и методические указания по их выполнению представлены ниже.

Контрольные задания и методические указания

по математике