Раздел I. Математический анализ.

1. Модуль вещественного числа и его свойства.

2. Определения: функции, сложной и обратной функций. Основные свойства функций: область определения, область значений, нули функции, монотонность четность периодичность.

3. Классификация функций: основные элементарные, элементарные, алгебраические и трансцендентные функции, иррациональные и рациональные функции.

4. Определение предела функции в точке. Предел функции на бесконечности. Горизонтальная асимптота графика функции. Примеры.

Бесконечно большие функции. Вертикальная асимптота графика функции. Примеры.

5. Бесконечно малые функции и их свойства. Арифметические свойства конечных пределов.

6. Число e как предел последовательности. Натуральные логарифмы. Замечательные пределы и следствия из них.

7. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Эквивалентные замены.

8. Непрерывность функции. Геометрический смысл непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных функций. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций.

9. Точки разрыва функции и их классификация.

10. Свойства функций, непрерывных на отрезках.

11. Определение производной. Критерий дифференцируемости функции. Геометрический смысл производной.

12. Основные правила дифференцирования. Таблица производных.

13. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Связь дифференциала и приращения функции.

14. Производные и дифференциалы высших порядков. Таблица производных n-ого порядка некоторых функций.

15. Теоремы о дифференцируемых функциях.(Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.

16. Формулы Тейлора и Маклорена. Таблица разложений основных функций по формуле Маклорена.

17. Определение возрастающей и убывающей функций. Необходимое условие возрастания и убывания дифференцируемой функции. Достаточное условие возрастания и убывания дифференцируемой функции.

18. Определение экстремумов функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума в терминах первой производной.

19. Направление выпуклости кривой. Необходимое условие выпуклости кривой. Достаточное условие выпуклости кривой.

20. Определение точки перегиба кривой. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.

21. Схема полного исследования функции. Пример.

22. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов.

23. Метод интегрирования по частям. 3 типа интегралов, к которым применим этот метод.

24. Метод замены переменной в неопределенном интеграле (2 теоремы). Примеры.

25. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших дробей первого, второго и третьего типов.

26. Интегрирование тригонометрических функций.

27. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

28. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Интегралы от четных и нечетных функций по симметричному промежутку. Свойства определенного интеграла.

29. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Метод интегрирования по частям и метод замены переменной в определенном интеграле.

30. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей, объемов, длин дуг кривых.

31. Определение функции двух переменных. Предел и непрерывность.

32. Частные производные и их геометрический смысл.

33. Дифференциал функции двух переменных. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

34. Касательная плоскость к поверхности в пространстве.

35. Производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.

36. Экстремум функции двух переменных.

37. Условный экстремум функции двух переменных.

38. Определение обыкновенного дифференциального уравнения,

его порядка, общего, частного, особого решения.

39. Основные типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.

40. Линейные дифференциальные уравнения первого и высших порядков с постоянными коэффициентами. Основные методы решения: метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов.

41. Числовые ряды: определение, необходимый признак сходимости, достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

42. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

43. Степенные ряды: определение, теорема Абеля, радиус и интервал сходимости.

44. Разложение функции в степенной ряд: ряды Тейлора и Маклорена.