Билет 1

Кинематика материальной точки. Скорость и ускорение

Отсюда следует, что для описания движения к.-л. тела необходимо указать, по отношению к каким другим телам происходит движение тела. Движение происходит как в пространстве (П), так и во времени (В). Поэтому для описания движения необходимо уметь измерять расстояния («линейки») и время («часы»).

Число различных СО огромно и все они равноправны. Поэтому из всей совокупности различных СО необходимо выбрать такие, по отношению к которым движение рассматриваемого тела описывалось бы наиболее просто.

Тело, находящееся настолько далеко от других тел, что оно не испытывает воздействия со стороны последних (или им можно пренебречь), называют свободно движущимся (СДТ). Если в качестве СО выбрать СДТ, то в такой СО движение других СДТ выглядит наиболее просто: оно происходит равномерно и прямолинейно (закон инерции Галилея). СО, связанную со СДТ, называют инерциальной системой отсчета (ИСО).

Для ИСО выполняется механический принцип относительности Галилея: все механические явления в различных ИСО протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная СО или движется равномерно и прямолинейно.

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. Поступательное – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся тело, остается параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне тела.

Для того, чтобы описывать движение количественно, необходимо связать с СО к.-л. систему координат, например, декартову. Тогда положение материальной точки можно задать при помощи радиуса-вектора r или задав три числа x, y, z – декартовы координаты этой точки:

r = i x + j y + k z,

где i, j, k – орты осей x, y, z.

Скорость – векторная величина , которой определяется быстрота движения, а также его направление.

Вектором средней скорости – называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени.

При неограниченном уменьшении (дельта t) средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v

Ускорение – физическая величина , характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Среднее ускорение – векторная величина равная отношению изменеия скорости (дельта в) к интервалу времени (дельта т)

Мгновенным ускорением а материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения.

Билет2

2.1.2. Нормальное и тангенциальное ускорения. Радиус кривизны траектории.

Пусть частица движется с переменной скоростью вдоль плоской криволинейной траектории.

В соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке траектории, вектор ускорения a можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие a_n и a_t : a = a_n + a_t. Составляющая a_n, направленная вдоль главной нормали к траектории, называется нормальным ускорением, а составляющая a_t, направленная вдоль касательной к траектории, называется касательным (тангенциальным) ускорением. Их численные значения ускорения равны:

a_n = v²/R, a_t = dv/dt, так что a = ( a_n² + a_t² )^½, где v – численное значение скорости, а R – радиус кривизны траектории. В случае, если уравнение траектории частицы задано в виде функции у(х), то как известно из математики R = [ 1 + (y^/)² ]^3/2 / y^//. Если же кривая задана параметрическими уравнениями x(t) и y(t), то

R = [ (ẋ)² + (ẏ)² ]^3/2 / ( ẋӱ - ẍẏ ).

Билет4

Динамика поступательного движения – раздел механики, в котором изучается движение твердого тела (материальной точки) под действием приложенных к нему сил. Основная задача динамики поступательного движения: зная действующие на тело силы, характер наложенных связей и начальные условия, определить закон движения тела по отношению к данной ИСО, а также давления, оказываемые телом на связи. Должны быть известны масса тела и положение его центра масс. Для определения закона движения тела служат соответствующие дифференциальные уравнения, полученные как следствия из общих теорем динамики. Эти дифференциальные уравнения позволяют также, если известен закон движения тела, определить главный вектор действующих на него внешних сил. Число и вид дифференциальных уравнений движения зависят прежде всего от характера изучаемого движения, который, в свою очередь, определяется видом наложенных связей, а для свободного тела – действующими силами и начальными условиями. Классическая механика покоится на трёх основных законах, подтверждаемых опытом: законе инерции (первый закон Ньютона), законе движения (второй закон Ньютона) и законе равенства сил взаимодействующих двух тел (третий закон Ньютона). Для обобщения этих

законов и их практического применения введем понятия системы и замкнутой (изолированной ) системы.

Системой материальных точек или тел называется мысленно выделенная совокупность материальных точек или тел, которые в общем случае взаимодействуют как друг с другом, так и с телами, не включенными в состав этой системы. Механическую систему называют свободной, если все входящие в неё материальные точки или тела могут занимать произвольные положения в пространстве и иметь произвольные скорости. В противном случае систему называют несвободной. Ограничения, наложенные на положения или движение рассматриваемой механической системы в пространстве, называют механическими связями. Связи называют внутренними, если они не мешают системе свободно перемещаться после того, как она внезапно отвердеет. Все остальные связи называют внешними. Системы, подчиненные только внутренним связям, являются свободными. Совокупность материальных точек или тел, взаимодействующих друг с другом и не взаимодействующих с окружающими телами, образуют замкнутую или изолированную систему.

Для замкнутой системы существует ряд величин, не изменяющихся с течением времени: импульс, момент импульса, полная энергия и др. Установление этих величин играет большую роль в механике, т.к. изменение такой величины может служить мерой взаимодействия тела (системы тел) с окружающими телами или другой системой.

Билет5

Закон сохранения импульса. Центр инерции. Движение центра инерции.

Второй закон Ньютона можно переписать в таком виде:

(1)

где мы ввели величину

p = mv,

(2)

называемую в физике импульсом. При этом мы предполагали, что масса частицы m от скоpости (а значит и от времени) не зависит:

Складывая эти уравнения, получаем

	=	F1  внеш+F2  внеш,        или
			(20)
	=	F1  внеш+ F2  внеш.

Отсюда следует, что

центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки будут далее разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было. Закон сохранения импулься Если импульс сохраняется в одной инерциальной системе, то он сохраняется и в любой другой системе, движущейся относительно нее с произвольной скоростью прямолинейно и равномерно.

Билет6

Инерциа́льная систе́ма отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: любое тело, на которое не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Всякая система отсчёта, движущаяся относительно ИСО равномерно и прямолинейно, также является ИСО. Согласно принципу относительности, все ИСО равноправны, и все законы физики инвариантны относительно перехода из одной ИСО в другую. Это значит, что проявления законов физики в них выглядят одинаково, и записи этих законов имеют одинаковую форму в разных ИСО.

Предположение о существовании хотя бы одной ИСО в изотропном пространстве приводит к выводу о существовании бесконечного множества таких систем, движущихся друг относительно друга со всевозможными постоянными скоростями. Если ИСО существуют, то пространство будет однородным и изотропным, а время — однородным; согласно теореме Нётер, однородность пространства относительно сдвигов даст закон сохранения импульса, изотропность приведёт к сохранению момента импульса, а однородность времени — к сохранению энергии движущегося тела.

Если скорости относительного движения ИСО, реализуемых действительными телами, могут принимать любые значения, связь между координатами и моментами времени любого «события» в разных ИСО осуществляется преобразованиями Галилея.

В специальной теории относительности скорости относительного движения ИСО, реализуемых действительными телами, не могут превышать некоторой конечной скорости «C» (скорость распространения света в вакууме) и связь между координатами и моментами времени любого «события» в разных ИСО осуществляется преобразованиями Лоренца.

Абсолютно инерциальные системы представляют собой математическую абстракцию, естественно, в природе не существующую. Однако существуют системы отсчёта, в которых относительное ускорение достаточно удалённых друг от друга тел не превышает 10⁻¹⁰ м/с², например, Международная небесная система координат в сочетании с Динамическим временем дают систему, относительные ускорения в которой не превышают 1,5×10⁻¹⁰ м/с² (на уровне 1σ)^[1]. Точность экспериментов по анализу времени прихода импульсов от пульсаров, а вскоре — и астрометрических измерений, такова, что в ближайшее время должно быть измерено ускорение Солнечной системы при её движении в гравитационном поле Галактики, которое оценивается в м/с^2[2].

С разной степенью точности и в зависимости от области использования инерциальными системами можно считать системы отсчёта, связанные с: Землёй, Солнцем, неподвижные относительно звезд.

Принцип относительности Галилея – это принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы. Отсюда следует, что никакими механическими опытами, проводящимися в какой-либо инерциальной системе, нельзя определить, покоится ли данная система или движется равномерно и прямолинейно. Это положение было впервые установлено Г. Галилеем в 1636. Одинаковость законов механики для инерциальных систем Галилей иллюстрировал на примере явлений, происходящих под палубой корабля, покоящегося или движущегося равномерно и прямолинейно (относительно Земли, которую можно с достаточной степенью точности считать инерциальной системой отсчёта): «Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно... Бросая какую-нибудь вещь товарищу, вы не должны будете бросать ее с большей силой, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей» Движение материальной точки относительно: её положение, скорость, вид траектории зависят от того, по отношению к какой системе отсчёта (телу отсчёта) это движение рассматривается. В то же время законы классической механики, т. е. соотношения, которые связывают величины, описывающие движение материальных точек и взаимодействие между ними, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Относительность механического движения и одинаковость (безотносительность) законов механики в разных инерциальных системах отсчёта и составляют содержание Галилеева принципа относительности. 2. Математическое выражение принципа относительности Галилея Математически принцип относительности Галилея выражает инвариантность (неизменность) уравнений механики относительно преобразований координат движущихся точек (и времени) при переходе от одной инерциальной системы к другой — преобразований Галилея. Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, S, условимся считать покоящейся; вторая система, S', движется по отношению к S с постоянной скоростью u так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах S и S' будут иметь вид: x' = x - ut, у' = у, z' = z, t' = t (1) (штрихованные величины относятся к системе S', нештрихованные — к S). Т. о., время в классической механике, как и расстояние между любыми фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчёта. Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах: v' = v - u, (2) a' = a. В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона: F = ma, (3) где m — масса точки, a F — равнодействующая всех приложенных к ней сил. При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой. Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется. Это и есть математическое выражение Галилеева принципа относительности. 3. Развития принципа относительности Галилея в науке

Билет7

Рассмотрим теперь системы, массы которых изменяются. Такие системы можно рассматривать как своего рода неупругое столкновение. В этом случае импульс системы    (5.6.4)          Полный импульс системы частиц равен произведению полной массы системы М на скорость её центра масс .        Если продифференцировать обе части равенства по времени, то при условии, что M постоянна, получим:    (5.6.5)   где – внешняя результирующая сила, приложенная к системе. Необходимо очень тщательно определять систему и учитывать все из-менения ее импульса.        Важным примером систем с переменной массой являются ракеты, которые движутся вперед за счет выбрасывания назад сгоревших газов; при этом ракета ускоряется силой, действующей на нее со стороны газов. Масса М ракеты все время уменьшается, т.е.  dM / dt < 0.        Другим примером систем с переменной массой может служить погрузка сыпучих или иных материалов на транспортерную ленту конвейера; при этом масса М нагруженного конвейера возрастает, т.е.  dM / dt > 0.        Рассмотрим движение тел с переменной массой на примере ракеты.        Для демонстрации видео-ролика щелкните по этой ссылке. Реактивное движение основано на принципе отдачи. В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью  υг  (рис. 3.4). Ракета и выбрасываемые газы взаимодействуют между собой по закону сохранения импульса:  mрυр = mгυг .        На основании этого закона конечная скорость ракеты    (5.6.6)   где  υг – относительная скорость выбрасываемых газов,  M0 и  M – начальная и конечная массы ракеты. Это соотношение в физике называют формулой Циолковского. Из него следует, что для достижения скорости  υ, в 4 раза превышающей по модулю относительную скорость выбрасываемых газов, стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 50 раз превышать ее конечную массу.

Уравнение Мещерского.

, где v_отн- скорость истечения топлива относительно ракеты; v - скорость движения ракеты; m - масса ракеты в данный момент времени.

Формула Циолковского.

, m₀ - масса ракеты в момент старта.

Вопрос 8 Сила тяжести и ускорение свободного падения

Силу, с которой тело притягивается к Земле под действием поля тяготения Земли, называют силой тяжести. По закону всемирного тяготения на поверхности Земли (или вблизи этой поверхности) на тело массой m действует сила тяжести

F_т=GMm/R²    (2.28)

где М - масса Земли; R - радиус Земли. Если на тело действует только сила тяжести, а все другие силы взаимно уравновешены, тело совершает свободное падение. Согласно второму закону Ньютона и формуле (2,28) модуль ускорения свободного падения g находят по формуле

g=F_т/m=GM/R².    (2.29)

Из формулы (2.29) следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы m падающего тела, т.е. для всех тел в данном месте Земли оно одинаково. Из формулы (2.29) следует, что Fт = mg. В векторном виде

F_т=mg    (2.30)

В § 5 было отмечено, что поскольку Земля не шар, а эллипсоид вращения, ее полярный радиус меньше экваториального. Из формулы (2.28) видно, что по этой причине сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения на полюсе больше, чем на экваторе.

Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, однако не все тела падают на Землю. Это объясняется тем, что движению многих тел препятствуют другие тела, например опоры, нити подвеса и т. п. Тела, ограничивающие движение других тел, называют связями. Под действием силы тяжести связи деформируются и сила реакции деформированной связи по третьему закону Ньютона уравновешивает силу тяжести.

В § 5 отмечалось также, что на ускорение свободного падения влияет вращение Земли. Это влияние объясняется так. Системы отсчета, связанные с поверхностью Земли (кроме двух, связанных с полюсами Земли), не являются, строго говоря, инерциальными системами отсчета - Земля вращается вокруг своей оси, а вместе с ней движутся по окружностям с центростремительным ускорением и такие системы отсчета. Эта неинерциальность систем отсчета проявляется, в частности, в том, что значение ускорения свободного падения оказывается различным в разных местах Земли и зависит от географической широты того места, где находится связанная с Землей система отсчета, относительно которой определяется ускорение свободного падения.

Измерения, проведенные на разных широтах, показали, что числовые значения ускорения свободного падения мало отличаются друг от друга. Поэтому при не очень точных расчетах можно пренебречь неинерциальностью систем отсчета, связанных с поверхностью Земли, а также отличием формы Земли от сферической, и считать, что ускорение свободного падения в любом месте Земли одинаково и равно 9,8 м/с².

Из закона всемирного тяготения следует, что сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения уменьшаются при увеличении расстояния от Земли. На высоте h от поверхности Земли модуль ускорения свободного падения определяют по формуле

g=GM/(R+h) 2.    (2.31)

Установлено, что на высоте 300 км над поверхностью Земли ускорение свободного падения меньше, чем у поверхности Земли, на 1 м/с2. Следовательно, вблизи Земли (до высот нескольких километров) сила тяжести практически не изменяется, а потому свободное падение тел вблизи Земли является движением равноускоренным.

Вес тела. Невесомость и перегрузки

Силу, в которой вследствие притяжения к Земле тело действует на свою опору или подвес, называют весом тела. В отличие от силы тяжести, являющейся гравитационной силой, приложенной к телу, вес - это упругая сила, приложенная к опоре или подвесу (т. е. к связи).

Наблюдения показывают, что вес тела Р, определяемый на пружинных весах, равен действующей на тело силе тяжести F_т только в том случае, если весы с телом относительно Земли покоятся или движутся равномерно и прямолинейно; В этом случае

Р=F_т=mg.

Если же тело движется ускоренно, то его вес зависит от значения этого ускорения и от его направления относительно направления ускорения свободного падения.

Когда тело подвешено на пружинных весах, на него действуют две силы: сила тяжести F_т=mg и сила упругости F_yп пружины. Если при этом тело движется по вертикали вверх или вниз относительно направления ускорения свободного падения, значит векторная сумма сил F_т и F_уп дает равнодействующую, вызывающую ускорение тела, т. е.

F_т + F_уп=mа.    (2.32)

Согласно приведенному выше определению понятия "вес", можно написать, что Р=-F_yп. Из (2.32) с учетом того, что F_т=mg, следует, что mg-mа=-F_yп. Следовательно, Р=m(g-а).

Силы F_т и F_уп направлены по одной вертикальной прямой. Поэтому если ускорение тела а направлено вниз (т.е. совпадает по направлению с ускорением свободного падения g), то по модулю

P=m(g-a)    (2.33)

Если же ускорение тела направлено вверх (т. е. противоположно направлению ускорения свободного падения), то

Р = m[g - (- а)] = m(g+а).

Следовательно, вес тела, ускорение которого совпадает по направлению с ускорением свободного падения, меньше веса покоящегося тела, а вес тела, ускорение которого противоположно направлению ускорения свободного падения, больше веса покоящегося тела. Увеличение веса тела, вызванное его ускоренным движением, называют перегрузкой.

При свободном падении a=g. Из (2.33) следует, что в таком случае Р=0, т. е. вес отсутствует. Следовательно, если тела движутся только под действием силы тяжести (т. е. свободно падают), они находятся в состоянии невесомости. Характерным признаком этого состояния является отсутствие у свободно падающих тел деформаций и внутренних напряжений, которые вызываются у покоящихся тел силой тяжести. Причина невесомости тел заключается в том, что сила тяжести сообщает свободно падающему телу и его опоре (или подвесу) одинаковые у скорения.

При соприкосновении движущихся (или приходящих в движение) тел с другими телами, а также с частицами вещества окружающей среды возникают силы, препятствующие такому движению. Эти силы называют силами трения. Действие сил трения всегда сопровождается превращением механической энергии во внутреннюю и вызывает нагревание тел и окружающей их среды.

Существует внешнее и внутреннее трение (иначе называемое вязкостью). Внешним называют такой вид трения, при котором в местах соприкосновения твердых тел возникают силы, затрудняющие взаимное перемещение тел и направленные по касательной к их поверхностям.

Внутренним трением (вязкостью) называется вид трения, состоящий в том, что при взаимном перемещении. слоев жидкости или газа между ними возникают касательные силы, препятствующие такому перемещению.

Внешнее трение подразделяют на трение покоя (статическое трение) и кинематическое трение. Трение покоя возникает между неподвижными твердыми телами, когда какое-либо из них пытаются сдвинуть с места. Кинематическое трение существует между взаимно соприкасающимися движущимися твердыми телами. Кинематическое трение, в свою очередь, подразделяется на трение скольжения и трение качения.

В жизни человека силы трения играют важную роль. В одних случаях он их использует, а в других борется с ними. Силы трения имеют электромагнитную природу.